陕西省咸阳市2024-2025学年乾县第二中学高二10月阶段检测数学试卷（含解析）

2024-2025学年乾县第二中学高二10月阶段检测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
4. 若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 1 B. 1或3 C. 9 D. 1或9
5、平面向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．与的夹角为
6. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体ABEF DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（ ）
A. － B.
C. － D.
8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题6分，3个小题共18分，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9、给出四个条件：
① ，②，③ ，④ ，其中能成为的充分条件的有（ ）
① B.② C.③ D.④
10. 若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则（ ）
A. 数据，，，，，与数据，，的平均数相等
B. 数据，，，，，与数据，，的方差相等
C. 数据，，，，，与数据，，的极差相等
D. 数据，，，，，与数据，，的中位数相等
11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面
C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
13. 已知点是直线上一点，则的最小值为__________．
若向量，且，则的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线的方程及点的坐标.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）若，，求的面积.
17. 已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：；
（2）设线段AB的中点为N，求的取值范围.
18. 图1是棱长为2的正方体，，，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，，分别是，的中点，过点，，的平面交于点．
（1）求线段的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19、已知函数=,
（1）求函数的定义域;
（2）设=+；若函数在（2，3）有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）设=+，是否存在正实数，使得函数=在［3，9］内的最小值为4 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
1.D
因为全集，，所以，
又因为，.
故选：D.
2.A
由诱导公式得，又由，可得．
故选：A.
3.B
椭圆满足，
则该椭圆的离心率.
故选：B.
4.C
根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上，
故，
故选：C
5.D
6.B
设，，由中点坐标公式得，
所以，故，
因为A在圆上运动，
所以，
化简得，故B正确.
故选：B
7.B
从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，
当直线，则，则，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
所以满足条件的有4种情况，
所以满足条件的概率.
故选：B
8.B
设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B xyz，则M ，N，.
解法一 取MN的中点G，连接BG，AG，
则G.
因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．
又因为，，
所以，，
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
则.
故所求两平面夹角的余弦值为.
解法二 设平面AMN的法向量
由于， ，
则，即，
令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量 .
所以 ，
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
则.
故所求两平面夹角的余弦值为.
8.A
因为三棱锥为鳖臑，平面，
在中，，
过做垂足为，则，
即，所以，
因为，
，
在中，，
所以，则，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以中，，
过作，，
即，可得，
则过作，因为是中点，所以，
所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，
则点的轨迹长度为.
故选：A.
9.AD
10.ABC
设数据的平均数为，数据的平均数也为.
那么数据的平均数为，
所以数据与数据的平均数相等，A选项正确.
设数据的方差为，数据的方差也为.对于数据，
其方差计算为,
所以数据与数据的方差相等，B选项正确.
设数据的极差为，数据的极差也为.
对于数据，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，
由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是，
所以数据与数据的极差相等，C选项正确.
设数据按从小到大排列为，中位数为.
设数据按从小到大排列为，中位数为.
对于数据按从小到大排列后，中位数不一定是，
所以数据与数据的中位数不一定相等，D选项错误.
故选：ABC
11.AD
】
对于A，如图1，因,故A正确；
对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知 与不垂直，
故直线与平面不平行，即B错误；
对于C，由上图建系，则, ,
因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，，
由题意，，即，于是，
此时，故与不垂直，即C错误；
对于D，由图知平面的法向量可取为，因，
设直线与平面所成角，
则，故D正确.
故选：AD.
12.
设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
13.5
设点关于直线的对称点，
则，解得，
故，故,
故最小值为：5
14.1
15.（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，
与互相垂直，直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理，得，即为所求的直线方程．
（2）由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
16.（1）因为，所以由正弦定理得，
，
又代入上式得，
所以，
由，则为锐角，且，
所以.
（2）由（1）知，，
因为，，所以，则，，
故，或（舍去）
所以，又，，
由正弦定理得，
则，则，
由余弦定理得，则，
化简得，解得，
所以.
故的面积为.
17.（1）由题意知，直线l的斜率存在，
设点，，直线l的方程为，
由得，
，，.
由，得切点，，
则切线的方程为，代入，得，
所以，解得，
同理，得切线的斜率，
所以.
（2）由（1）可得，
故，.
由（1）得，
可化为，①
同理得，②
由①②，得，，即，
则.
，
所以.
由，，得，故，
即的取值范围为.
18.（1）方法一：在图1中延长与相交于，延长与相交于，延长与相交于，连接交于，如图所示，由∽，
得，求得．
方法二：在图1中过点作的平行线交于点，连接交于点，
如图所示，易知．
（2）在图2中，以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，
设面的法向量，
有，令，则，
，
设面的法向量为，
有，令，则，
．
则面与面的夹角的余弦值是．
19.（1）函数的定义域是
（2）=在区间（2，3）上单调递增，且值域为 ，令+＝0，得
故函数在（2，3）有且仅有一个零点时
实数的取值范围是
（3）设 ，则时，
①当时，
在处取得最小值，由得m=3(舍去)；
②当时，
在处取得最小值，由得m=3(舍去)；
③当时，
在处取得最小值，由得m=4(符合题意)；
综上可知，存在m=4，使得函数=在［3，9］内的最小值为4.