陕西省咸阳市2024-2025学年乾县第一中学高二10月阶段检测数学试卷（含解析）

2024-2025学年乾县第一中学高二10月阶段检测
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，如果，则（ ）
A. B. 0 C. D.
2. 已知复数（），且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
6、甲、乙、丙三个车间生产的某种产品的件数分别为120,80,60.现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本,若从乙车间生产的产品中抽取4件,则n=(　　)
A.10 B.12 C.13 D.14
7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A. 的最小值为0
B. 的最大值为7
C. 两个圆心所在直线的斜率为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
10. 如图，正方体的体积为8，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与为异面直线
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 若为上靠近点的四等分点，则4
D. 线段上存在点，使得平面
11、已知平面内两个向量，若，且是平面的一个法向量，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，.若，则__________.
13. 已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.
14. 已知，则的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆，点.
（1）若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
16、某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.
(1) 试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数；
(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
17. 如图，在几何体中，平面，，，，，分别为棱，的中点.
（1）证明：平面．
（2）证明：.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．
（1）求证：直线过定点；
（2）若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．
19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左 右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.
（1）直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值；
（2）直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围.
1.A
由，则存在，使，
则，解得，
所以.
故选：A.
2.D
因为，，所以，解得，
因为，所以.
故选：D,
3.C
，则，
即，故.
故选：C
4.C
由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数范围为.
故选：C.
5.C
因为四点共面，且任意三点不共线，得出，都不是0，
当时，，计算可得，的最大值为，
当且仅当时取最大值，
当时，，
所以的最大值为，
故选：C.
6.C
7.B
在从左往右第一个图中，因为，所以，
因为侧棱垂直于底面，所以面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
因为分别是所在棱中点，所以
所以，，故，
即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，所以，，
故，所以不垂直，
在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，
故，，即，所以不垂直，
则下列3个直观图中满足的有个，故B正确.
故选：B
8.B
由题意可得，，直线的斜率为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．
故选：B．
9.BC
圆，圆心，半径.
圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径，
两圆圆心距，，，
A选项错误，B选项正确.
两个圆心所在直线的斜率， C选项正确.
又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误.
故选：BC.
10.ABC
对于A，取中点，连接,由于,,与相交，因此与为异面直线，A正确，
对于C，若为上靠近点的四等分点，,则,故，C正确，
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，由体积为8可得棱长为2，则,
,则，
向量在向量上的投影向量为，故B正确，
对于D，假设线段上存在点，其中，使得平面，
,设平面的法向量为，
则，取，则，
,
由于平面，所以，解得，
此时为中点，此时,
由于故也是平面的法向量，
又平面与平面有公共点，因此平面与平面重合，
故平面，故D错误，
故选：ABC
11.AC
12.
因为向量，，所以，
因为，所以，解得.
故答案为：
13.
如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设构成的一次函数为，代入，，
得，得，即，
因点P在线段BC上，可设，其中，
则，，
，
因，故当时取最小值为.
故答案为：
14.
，
设在直线上，点，，
则，，
则,
如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长，
设，则，解得，即，
故，
所以，
故答案为：
15.（1）解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
（2）解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.
(1)
众数的估计值为5，
平均数的估计值为5.6
（2）200人
17.（1）如图，连接.
在中，，分别为棱，的中点，所以,，
又平面，平面.
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
又,平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
（3）因为，所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，设为.
不妨设，则.
设到平面的距离为.
则.
又.
在中，，，所以.
所以.
所以.
故直线与平面所成角的正弦为.
18.（1）由题知，圆标准方程为，
所以圆心，半径，
因为是圆的两条切线，所以，，
所以A，B在以PC为直径的圆上，
又因为，且PC的中点为，
所以以PC为直径的圆M的方程为，
化简可得，
所以AB为圆C与圆M的公共弦，
所以直线AB的方程为，令，解得，
所以直线过定点；
（2）当PA，PB有一条斜率不存在，即时，
不妨设PA的斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，，
设直线PB的方程为，
由圆心到PB的距离，解得，
所以直线PB的方程为，
所以，
此时，；
同理斜率不存在时；
当PA，PB斜率均存在，即时，
设过点的切线方程为，即，
因为PA，PB与圆C相切，
所以圆心C到直线的距离，
即，，
设PA，PB斜率分别为，，
则，，
又点直线上，点在直线上，
，，
所以
而，
所以．
又因为且，所以当时，，
此时．
综上，面积的最小值为．
19.（1）方法1：设直线，
联立，消，得，
所以，解得，
设，则，
所以.
联立，消，得，
设，则，
所以.
因为，，
所以，
，
所以.
方法2设，，
因为，，
所以，
.
因为点在双曲线上，所以，
所以，所以.
因为点在椭圆线上，所以，
所以，所以.
因，，三点共线，所以，
所以.
（2）设直线的方程为，
联立，消，得
，
解得，，
所以点的坐标为，
因为点位于第一象限，所以，
解得，联立，消，得
，
解得，，
所以点坐标为，
所以，
设，则，
所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，所以，
所以，即，
故的取值范围为.