人教A版（2019）数学选择必修1 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）课件（26页ppt）

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选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.利用椭圆的简单几何性质求标准方程． 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题． 3.数学运算素养和直观想象素养.
温故知新
1.椭圆定义
把平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆（ellipse). 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点(foocus)，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距(foocus distance) . 焦距的一半称为半焦距.
几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数且2a>|F1F2|)．
2.椭圆的标准方程
椭圆焦点在x轴上
(a>b>0).
椭圆焦点在y轴上
(a>b>0).
a2=b2+c2.
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
下面，我们用椭圆方程(a>b>0)来研究椭圆的性质.
通过对曲线的对称性以及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.所以，本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究它们的几何性质.
知新探究
观察椭圆(a>b>0)的形状, 你能从图上看出它的范围吗 它具有怎样的对称性 椭圆上哪些点比较特殊
1.范围
观察下图，容易看出椭圆上的点都在一个特殊的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？
F1
F2
O
x
y
A1
A2
B1
B2


由方程(a>b>0)，可知
,
∴,
即-a≤x≤a.
同理有-b≤y≤b.
这说明椭圆位于直线围成的矩形框里.
知新探究
在椭圆的标准方程 (a>b>0) 中，以-y代y ,方程不变.这说明当点P(x,y)在椭圆上时 ,它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上 ,所以椭圆关于x轴对称.
这时，坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的.
同理，以-x代x ,方程也不变.这说明当点P(x,y)在椭圆上时 ,它关于y轴的对称点(-x,y)也在椭圆上 ,所以椭圆关于y轴对称.
2.对称性
观察椭圆的形状 ,可以发现椭圆即是轴对称图形,又是中心对称图形,如何利用方程说明椭圆的对称性？
F1
F2
O
x
y
A1
A2
B1
B2


知新探究
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴 ,所以椭圆与它的对称轴有四个交点, 这四个交点叫做椭圆的顶点(如图).
线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a, 2b. a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.
在椭圆的标准方程(a>b>0)中，令x=0,得.因此B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理，令y=0,得.因此A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.
你认为椭圆(a>b>0)上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？
3.顶点
知新探究
如右图,椭圆(a>b>0)的长半轴长为a ,半焦距为c. 通过几何画板演示发现,保持长半轴长a不变 ,改变椭圆的半焦距c,可以发现, c越接近a,椭圆越扁平.类似地, 保持c不变, 改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平；而当a, c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变.
观察右图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同. 扁平
程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭
圆的扁平程度吗
这样,利用c和a这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度.
4.离心率
我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率．用e表示，即 e= .
知新探究
因为a>c>1,所以0.
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆；
e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁；
我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率．用e表示，即 e= .
离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁.
你能运用函数知识解释，为什么越大，椭圆越扁平吗？越小，椭圆越接近于圆吗？
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
知新探究
椭圆定义 焦点位置
图形
方程
特点 共同点 不同点
|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|=2c．
焦点在x轴上
F1
F2
M


x
y
O
(a>b>0).
焦点在y轴上
F1
F2
M


x
y
O
(a>b>0).
a>b>0,a2=b2+c2.
焦点的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0)
方程中的a2是x2的分母
焦点的坐标分别为F1(0,-c),F2(0,c)
方程中的a2是y2的分母
知新探究
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 _____________________ _____________________
对称性 对称轴为 ，对称中心为 . 顶点
轴长 短轴长|B1B2|＝___，长轴长|A1A2|＝___ 焦点 ____________________ _____________________
焦距 |F1F2|＝ ，c2＝ . 离心率 e= , e的范围是 . A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
x轴、y轴
(0，0)
2c
a2－b2
.
0知新探究
【例1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标..
解：
把原方程化成标准方程，得
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
.
于是a＝5，b＝4，c＝＝3．
初试身手
1.已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
⑴求椭圆C1的长轴长、短轴长、焦点坐标及离心率；
解：
⑴由椭圆C1：＝1，可得
∴椭圆C1的长轴长为20，短轴长为16.
∴椭圆C1的焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，离心率为.
a＝10，b＝8
c==6，.
初试身手
1.已知椭圆C1：设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
⑵写出椭圆C2的方程，并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率．
解：
①椭圆C2的范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
③椭圆C2的顶点：长轴端点为(0，10)，(0，－10)，短轴端点为(－8，0)，(8，0)；
⑵椭圆C2：＝1．①
②椭圆C2的对称性：对称轴：x轴、y轴；对称中心：(0,0)；
④椭圆C2的焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；
⑤椭圆C2的离心率e＝．
知新探究
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
⑴短轴长2，离心率e＝；
⑵在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：
⑴由题意，得 ,
∴,
解得,
∴所求椭圆的标准方程为.
知新探究
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
⑴短轴长2，离心率e＝；
⑵在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：
⑵由题意可设椭圆的方程为(a>b>0)，
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴所求椭圆的标准方程为.
∴c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18.
初试身手
2.⑴已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝3，则C的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
⑴由题意，设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，可得c＝＝1，
联立①②，可得a2＝4，b2＝3，
∴a2－b2＝1，①
∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|＝3，
∴可得A，B，
∴椭圆的方程为为.故选C．
代入椭圆方程，得 ＝1，②
解：
C
初试身手
2.⑵已知椭圆C过点(3，0)，且离心率为，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1或1
C．＝1 D．＝1或＋＝1
⑵若焦点在x轴上，则a＝3．
此时椭圆C的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，则b＝3．
由e＝，得c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
此时椭圆C的标准方程为＝1．
故选D．
由e＝，得a2＝27，
解：
D
知新探究
【例3】⑴已知椭圆(a>b>0)的左焦点为F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点, 如果F1到直线AB的距离为, 求椭圆的离心率e.
解：
⑴由已知条件可得，直线AB的方程为,即bx-ay+ab=0,
又F1(-c,0),由点到直线距离公式可得,
化简整理，得8c2-14ac+5a2=0,
即8e2-14e+5=0,
方程两边同除以a2，得
,
解得，
∴椭圆的离心率.
知新探究
【例3】⑵(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D.
解：
⑵已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，x0≠±a,
而kAP＝,kAQ＝,
∴, ①
∵＝1，即，②
将②代入①整理得.
∴e＝，
故选A.
A
初试身手
方法1：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|由消去y0，得.
3. 若椭圆(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
∵0≤x02由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，
解：
又0∴,
∴a2≤2c2,即,
综上，椭圆的离心率e的取值范围是.
∴.
由②得c2-b2.
初试身手
方法2：设椭圆与y轴的一个交点为P，连接PF1，PF2.
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
3. 若椭圆(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，即a2≤2c2,，
解：
又0综上，椭圆的离心率e的取值范围是.
∴.
.
课堂小结
椭圆的几何性质
范围
对称性
顶点
离心率
方程的性质
椭圆的几何性质
研究圆锥曲线几何性质的一般思路与方法
作业布置
作业：
P115 习题3.1 第3，2,4⑶,5,10题.
补充：（选做）
1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
(　　)
A. B. C. D.
2.已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
3.已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使，则该椭圆的离心率的取值范围为____________.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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