陕西省咸阳市2024年乾县杨汉中学高二下学期第二次阶段性测试数学试卷（含解析）

2024年乾县杨汉中学高二下学期第二次阶段性测试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ）
A. B. C. D.
3、函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
5. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知点，，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“相关点直线”．给出下列直线:①；②③；④，其中为“相关点直线”的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ③④
7. 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
8、已知空间向量，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 的值域为
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增
11. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三 填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分
12. 函数的定义域为______.
13. 如图，在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点，点是棱上的点．若，则线段的长度为______．
14. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数，.
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和单调递增区间.
16. 如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.
（1）求证：存在点N，使得.
（2）求二面角的正弦值.
17.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
（1）求证：是平面的一个法向量；
（2）求点到平面的距离；
（3）求与平面所成角的大小.
18. 在直角坐标系中，点，动点满足直线与斜率之积为．记的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围．
19. 已知集合，为正整数且为集合的子集，记表示集合中元素的个数．
（1）当时，，请写出满足条件的集合；
（2）当时，对任意的可以相同），都有，求的最大值；
（3）若均为的子集，且，求证：一定存在两个不同的子集，使得．
1.C
2.B
直线的方程为，其斜率为，
设直线的斜率为，，
．
由题意可知，，，
的方程为：，即．
故选：B
3.D
4.A
因为定义在上的函数满足，
所以是奇函数，且，故，解得，
故当时，，由奇函数性质得，
而，故，故A正确.
故选：A
5.D
设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
6.B
由题意可知，点P的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，其方程是．
解法一:①把代入并整理得，，∴，∴直线与圆相离，∴直线不是“相关点直线”．
同理，通过联立直线和圆的方程，可得直线②，④与圆相交，直线③与圆相离．所以②④符合题意．
故选:B．
解法二:①圆心到直线，即的距离为，∴直线与圆相离，∴直线不是“相关点直线”．
同理，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，可得直线②，④与圆相交，直线③与圆相离．所以②④符合题意．
故选:B．
7.B
设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径，
又抛物线上点点到圆心距离平方为：
，
若最小值在时取到，则小球触及凹槽的最底部，
故此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧，所以，所以，
所以，从而清洁钢球的半径的范围为，
所以清洁钢球的最大半径为.
故选：B．
8.C
9.ABD
因为，所以的最小正周期为，故A正确；
由，可得，
所以图象的对称轴为，
当时，图象的关于对称，故B正确；
由，可得，
所以图象的对称中心为，
当时，图象的关于点对称，故C不正确；
由，故的值域为，故D正确.
故选：ABD.
10.AD
对于A，因为，所以由图象知，
，所以，A选项正确；
由图象知，又因为，
所以即，
因为，所以，B错误；
对于C，当时，，
则不是的对称轴，故C错误；
对于D，的单调增区间满足：，，
即单调增区间为，，
当时，增区间为，所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：AD.
11.ABD
根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立空间直角坐标系，设，则，，，
，，，；
由是棱上的动点，设，，
因为，，所以，
即，故A正确；
当为中点时，是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
，，若存在点，
使直线与所成的角为，
则，
化简得，无解，故C错误；
由题意可知：点到平面的距离，
为平面的法向量，所以点到平面的距离为，
所以，故D正确.
故选：ABD
12.
要使函数解析式有意义，
则有，即，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
13.
因为在直三棱柱中，，
因此，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，则，
又点是棱上的点，所以设，
则，
因为，所以，因此.
所以，因此.
故答案为
14.
令，可得，
所以，所以或，
由，又，可得，解得或，
方程无解，方程有一解，故有一解，
要使函数有三个零点，
则有两解，即与的图象有两个交点，
作出函数的图象的示图如下：
由图象可得，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
15.（1）
（2）的最小正周期为
令
得的单调递增区间是：
16.（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面ADM，
所以平面平面PBC.
又平面AMD，所以平面PBC，
所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N，满足.
（2）以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，
过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为四边形ABCD是菱形，，所以，
又，，平面ABCD，
所以，，，，.
，，，
设平面AMP的法向量为.
则有，取，则，得.
设平面MPC的法向量为，
则有，取，则，得.
则，
所以二面角正弦值为.
（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，
则 ，
，，
，故是平面的一个法向量
（2）因为是平面的一个法向量，又
所以点到平面的距离是：
＝ ＝ ，
平面的一个法向量是
设与平面所成角为 ，则
＝＝
所以与平面所成角的大小 。
18.（1）直线的斜率为，
直线的斜率为，
由题意可知：，
所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
（2）如图：
法一：直线的斜率存在且不为0，设，
联立，整理得恒成立，
且，则，
则，即，
直线的方程为，与，联立得，
设点到直线的距离分别为，
则，
四边形面积
，
又，所以，故四边形面积的取值范围为.
法二：易知直线的斜率存在且不为0，设，
代入点得，相减得，
整理得①；
联立，得，所以．
；
设，由①得，直线方程为，
联立，解之得，即．
设点到直线的距离分别为，
则，，
.
所以四边形的面积，
又，所以，
所以，故四边形面积的取值范围为．
19.（1）∵
∴集合有：，．
（2）取此时中最小的三个元素时且，且，
故满足对于任意的，，
当时，集合中的元素取从大到小对应的个数，均成立，
下证当不成立，
作三元子集，
则，对的任意一个11元子集，必包含某，
若，则有成立，与矛盾；
若，则元素与矛盾，
∴的最大值为10；
（3）（反证法）假设对任意的，
①若，三元子集至少有个，与元素只有个矛盾，
②若，
若，则，
将分成若干组，每组中的两个三元子集都有2个公共元素，不同组中无公共元素．
下证，任取一组有个三元子集，有个元素，则，
当时，，则，
当时，，
而三元子集有个，至少要有个元素，矛盾．
∴一定存在两个不同的子集，使得