陕西省咸阳市2024年乾县杨汉中学高二下学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析）

2024年乾县杨汉中学高二下学期第一次阶段性测试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2、若，则的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D. 5
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是奇函数
C. 函数是奇函数
D. 函数是奇函数
5. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7、下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
二，多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D. 过两点的直线都可用方程表示
10. 我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ）
A. 双曲线是黄金双曲线
B. 若，则该双曲线是黄金双曲线
C. 若，则该双曲线是黄金双曲线
D. 若，则该双曲线是黄金双曲线
11. 设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若圆心到直线的距离为，则
B. 直线恒过定点
C. 若线段的中点为，则的最小值为
D. 若，则
三 填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12、若函数是定义域内的增函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是
13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
14. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在ABC中，角的对边分别为，已知 ，求ABC的面积和边.
16. 在中，角，， 的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，角的平分线交于点，求线段的长．
17. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．
18. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．
（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；
（3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：
（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小
1.B
因为.
故选：B
2.B
3.A
因为,
又因为,
所以,
所以.
故选：A.
4.C
依题意，函数是奇函数，函数是偶函数，
A选项，，所以是偶函数，A选项错误.
B选项，，
所以函数是偶函数，B选项错误.
C选项，，
所以函数是奇函数，C选项正确.
D选项，，
所以函数是非奇非偶函数，D选项错误.
故选：C
5.B
∵为等边三角形，∴，
∴，，，
中，由余弦定理有，
∴，∴，∴.
故选:B.
6.A
取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，,
则，
所以，，
故点到直线的距离为,
故选：A
7.D
8.B
由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，
直线的方程为，则，
所以
，
当且仅当，即时，取等号.
所以的最小值为.
故选：B.
9.AD
对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确；
对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误；
对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，
所以直线方程为或，故C错误；
对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确；
故选：AD.
10.BCD
A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，∵，∴，
∴，
化简得，由选项知是黄金双曲线；
D选项，∵，∴轴，，且是等腰，
∴，即，由选项知是黄金双曲线.
综上，BCD是黄金双曲线.
故选：BCD
11.ABD
对于A，圆的半径为，故，A正确，
对于B，由题意可知点，，在以为直径的圆上，
设，,其圆的圆心为，故方程为：，化简为，
与方程相减可得，
则直线的方程为，
令，解得，因此直线恒过定点，因此B正确；
对于C，由于,故,
故,解得,
由于函数均为内的单调递增函数，故为内的单调递
增函数，
当时，此时最小，且最小值为，
当最小时，故的最小值为,故C错误，
对于D，由于,故,
由选项C可知的最小值为，故，
故，进而可得,由于，进而可得，即,因此，
，故，即，D正确，
故选：ABD
12.（1，4]
13.
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
14.
由题意可得，三角形ABC的面积为，
由于直线与x轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，
故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，
则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，
求得.
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即，可得，求得，
故有.
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标，求得.
设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得，由于此时，
所以，两边开方可得，所以，
故有.
综上可得b的取值范围应是.
故答案为：.
15.B＝
由
得
16.（1）因，
由正弦定理可得．
又因为，则，
所以，整理得，即．
因为，所以，
所以，所以．
（2）在中，，且，
则有，解得（舍去负值）．
方法1：由面积，
，
即，则，线段的长是．
方法2：由内角平分线定理有，
则，，
所以，线段的长是．
17.（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”
则，
事件与相互独立，与相互独立
则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手”
即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是
（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则
依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥
故“”的事件的概率为
18.（1）因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得，
则或或.
（2）因为集合是“等差集”，
所以或或,
计算可得或或或，
又因为正整数,所以.
（3）假设是“等差集”，
则存在,成立，
化简可得,
因为,所以,
所以与集合的互异性矛盾，
所以不是“等差集”．
19.（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则有，所以，
直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由题可知平面的法向量为，且过点，
因为，所以，
所以点到平面的距离为.
（3）（i）建立空间直角坐标系，
先分别画平面，
然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体，
故几何体的体积为，
（ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象，
所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时，得，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角，
计算平面得二面角，
所以两个平面的法向量分别为，
所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.