2025海口市高三摸底考试数学试题（PDF版，无答案）

机密 启用前
海口市 2025届高三摸底考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若集合 A x 2 x 5 ， B x x2 - 4x 3≤0 ，则 A B
A． x x 2 B． x 1≤ x 5 C． x 2≤ x 3 D． x 2 x≤ 3
2．已知向量 a (1, 2)， b (k, 1)，则“ k 1 ”是“ a2 ∥ b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 f (x) x ln x ，则 f (x)的单调递减区间为
A． ( ，1) B． (0，1) C． (1， ) D． (0， )
4．已知a log0.2 3，b 20.1， c ln 2，则 a，b，c的大小关系为
A．b c a B．b a c C． c b a D． c a b
5．海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中
学一研究性学习小组计划利用 5月 1日至 5月 5日共 5天假期实地考察美舍河湿地公
园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园 5个
湿地公园，每天考察 1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在 5月 1日或 5月 2日，
则不同的考察安排方法有
A. 24种 B. 48种 C. 98种 D. 120种
6．如图，在平面四边形 ABCD中， AC与 BD交于点O，且 AC BD，
OA 1，OB OC OD 2，剪去△COD，将△ AOD沿OA翻折，
△ BOC沿OB翻折，使点C与点 D重合于点 P，则翻折后的三棱锥
P AOB外接球的表面积为
A． 5 B．8 C． 9 D．13
7．已知 P是抛物线 y2 2x上的动点，则点 P到直线 y x 3的距离的最小值是
A 3 2． B． 2 2 1 C 3 2 D 5 2． ．
2 4 4
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8．已知定义在 [ 3, 3]上的函数 f (x) ex e x 2x 1，若 f (m2 ) f (m 2)≤2，则m的
取值范围是
A． [ 2,1] B． [ 1,2] C． [ 1, 3] D． [ 1,1]
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．某校为了解学生的身体状况，随机抽取了 50名学生测量体重，
经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于 45至 70
之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则
A.频率分布直方图中 a的值为 0.04
B.这 50名学生体重的众数约为 52.5
C.该校学生体重的上四分位数约为 61.25
D.这 50名学生中体重不低于 65千克的人数约为 10
10. 函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,0 ) 的部分图象如图所示，则下列命题正确
的是
A. 2
B.
3
C. f (x) x 2 关于 对称
3
D.将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 h(x) 2sin 2x
6
11．在平面直角坐标系中，已知两定点 A( a，0)， B(a，0)，直线 PA ,PB相交于点 P，且
直线 PA与直线 PB的斜率之积为m，其中m 0， a 0．下列选项正确的是
A．当 m 1时，动点 P的轨迹为以原点为圆心，半径为 a的圆，且除去 ( a，0) ，
(a，0) 两点
B．当m 0时，动点 P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线，且除去 ( a，0)， (a，0)两点
C．当 m 0且 m 1时，动点 P的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆，且除去 ( a，0) ，
(a，0)两点
D．当m 2， a 3时，动点 P的轨迹为曲线C，过点 (3，0)且倾斜角为 30 的直线与
16 3
曲线C交于M， N两点，则 |MN |
5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
8
12．已知 2a 3 2b， ，则 a b ．3
13．记△ ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，已知 c 1，且 a sin A
2b(sin B sinC cos A) ，则 b ．
14．已知函数 f (x) e x (x 2) ax ，若存在唯一的负整数 x0，使得 f (x0 ) 0，则实数 a的
取值范围是 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记 Sn为数列 an 的前 n项和，已知 2Sn 3an 1．
（1）求 an 的通项公式；
（2）设bn an log3 an，求数列 bn 的前 n项和Tn．
16.（15分）
如图，在正四棱柱 ABCD A B C D 中， AB 2 ，点 E 满足
1 1 1 1
AE 2EB， F 是 A1D1的中点．
（1）证明：过 B1， E， F 三点的平面截正四棱柱所得的截面
为梯形；
8
（2）若 AA1 ，求二面角 F B1E B的正弦值．3
17.（15分）
制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习
方法是一种有效的学习策略．某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间
的关系，得到如下数据：
成绩>120分 成绩≤120 合计
制定学习计划并坚持实施 14 6 20
没有制定学习计划 2 28 30
合计 16 34 50
（1）依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”
和“数学成绩高于 120分”有关联？
（2）若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学
习计划，其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止．以下为小明坚持实施
计划的月份和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：
月考时间 11月初 12月初 次年 1月初 次年 2月初 次年 3月初
时间代码 x 1 2 3 4 5
月考校内名次 y 881 857 729 569 475
5
参考数据： xi yi 9433， y 702.2．
i 1
（i）求月考校内名次 y与时间代码 x的线性回归方程 y b x a ；
（ii）该校老师给出了上一年该校学生高考（6月初考试）数学成绩在校内的名次和在
全省名次的部分数据：
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校内名次w 5 100 200 300
全省名次 u 20 257 666 2780
利用数据分析软件，根据以上数据得出了两个回归模型和决定系数 R2：
模型① 模型②
u 9.5w 449 u 28e0.016w
R2 0.7927 R2 0.9973
在以上两个模型中选择“较好”模型（说明理由），并结合问题（i）的回归方程，依
据“较好”模型预测小明如果能坚持实施学习计划，他在次年高考中数学成绩的全省名次
（名次均保留整数）．（参考数据： e2.272 9.7， e2.432 11.4， e0.672 2.0）
2 n(ad bc)2
附：（1） ，其中 n a b c d(a b)(c d )(a c)(b . d )
0.05 0.01 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）对于一组数据 (xi , yi )(i 1,2,3,...,n)，其回归直线 y b x a 的斜率和截距的最小
n n
(xi x )(yi y) xi yi nx y
b i 1 i 1二乘估计分别为： ，a y b n n x ．
(x 2i x ) x 2 nx 2i
i 1 i 1
18.（17分）
2
已知函数 f (x) x 2a 1 x alnx (a R)．
（1）当 a 1时，求函数 y f (x)在 x 1处的切线方程；
（2）讨论 f (x)的单调性；
（3）若 g(x) f (x) x 2 (a 1) ln x有两个不同的零点 x1, x2 ，求 a的取值范围．
19.（17分）
对于二次曲线 ： x2 y2 1，我们有：若Q(x , y ) 是曲线 上的一点，则过点Q
x2 y2
与曲线 相切的直线方程为 x x y y 1．已知椭圆 C1 ： 2 2 1(a b 0) ，a b
a2 13b2 ，动圆C 2 2 22 ： x y r (b r a)，点 P(x0 , y0 )是C1 与C2 在第一象限的交点．
（1）求椭圆C1的离心率 e；
（2）过点 P作动圆C2 的切线 l， l经过椭圆C1的右焦点 F (c,0)，求 x0 与 c满足的关
系式 f (x0 ,c) 0；
（3）若 b 1，直线 AB与C1，C2 均相切，切点 A在C1 上，切点 B在C2 上，求 | AB |
的最大值．
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