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（沪科版）八年级
上
14.2.5.1两个直角三角形全等的判定
全等三角形
第14章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“ HL ”，培养学生观察、归纳及动手能力；
2.会用直角三角形全等的判定方法“ HL ”判定两个直角三角形全等；
3.在经历探索直角三角形全等的过程中，发展学生的几何直观感知能力和推理能力；
4.能够根据一定的已知条件作直角三角形，强化学生的作图能力。
到目前为止，我们学过的可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
新知导入
1.三角形全等的定义：能够完全重合的两个三角形全等.
2.全等三角形的判定定理(SAS)：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
3.全等三角形的判定定理(ASA)：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
到目前为止，我们学过的可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
新知导入
4.全等三角形的判定定理（SSS）：
三边分别相等的两个三角形全等.
5.全等三角形的判定定理（AAS）：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
思考：
我们知道判定两个三角形全等，除了以上的方法外还可以通过观察它们是否完全重合得到验证，那这些方法对于直角三角形是否适用呢？
任务：直角三角形全等的判定方法“HL”
新知讲解
C
B
A
已知：Rt△ABC，其中∠C 为直角［如图］．
求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′ ＝ AC，A′B′ ＝ AB．
新知讲解
A
C
B
已知：Rt△ABC，其中∠C 为直角［如图］．
求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′ ＝ AC，A′B′ ＝ AB．
新知讲解
作法：(1)画∠MC′N=∠C=90°；
(2)在射线C′M上取C′A′=CA；
(3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′；
(4)连接A′B′ ． 则Rt△A′B′C′就是所求作的直角三角形．
B′
N
M
A ′
C ′
A
C
B
将画好的 Rt△A′B′C′与 Rt△ABC 叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
新知讲解
A′
N
M
B′
C′
B
C
A
完全重合
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
简记为“斜边、直角边”或“HL”．
两个直角三角形全等的判定方法：
新知讲解
A
B
C
A ′
B′
C ′
几何语言：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ ( HL )
例 7 已知：如图，∠BAC＝ ∠CＤB＝90°， AC ＝ ＤB．
求证：AB ＝ ＤC．
新知讲解
证明 ∵ ∠BAC ＝ ∠CＤB ＝90°，（已知）
∴ △BAC，△CＤB 都是直角三角形．
又 ∵ AC ＝ ＤB，（已知）
BC ＝ CB，（公共边）
∴ Rt△ABC ≌Rt△ＤCB．（HL）
∴ AB ＝ ＤC．（全等三角形的对应边相等）
B
C
A
D
新知讲解
通过上面的学习我们可以总结出两个直角三角形全等的判定方法有以下五种:
①SAS；②ASA；③SSS；④AAS；⑤HL.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°. 若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的条件可以是( )
A.∠ABC=∠ABD
B.∠BAC=∠BAD .
C. AC= AD
D. AC= BC
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是( )
A.BD>CD
B.BDC.BD=CD
D.不能确定
C
课堂练习
3.如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则△CED≌ ，AC＝ ，∠B＝ ．
【知识技能类作业】必做题：
△ABC
CD
∠DEC
4．已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.
求证：AB//DC.
证明：∵ AC⊥BD于点O，
∴∠AOB=∠DOC=90°
△AOB和△COD都是直角三角形
∵ OA=OC，AB=CD.
∴△AOB≌△COD
∴∠A=∠C
∴AB//DC.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
A
B
C
D
O
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E, BD,CE相交于点F,则图中全等三角形共有( )
A.6对 B.5对
C.4对 D.3对
B
6.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，那么CE＝DF吗？
解：CE＝DF.
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
∴∠CAE＝∠DBF，AC＝BD.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD(AAS)
∴CE＝DF.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.如图，∠ C ＝∠ D ， AC ＝ AD . 求证： BC ＝ BD . （思路点拨：当图中的三角形无法证明全等时，可通过作辅助线将图形分割或填补，构造全等三角形；本题可过点 A 分别作 BC ， BD 的垂线）
证明：过点 A 作 AM ⊥ BC ， AN ⊥ BD ，分别交 BC ， BD 的延长线于点 M ， N ，
∴∠ M ＝∠ N ＝90°.
∵∠ ACB ＝∠ ADB ，∴∠ ACM ＝∠ ADN .
【综合拓展类作业】
课堂练习
在△ ACM 和△ ADN 中，
∴△ ACM ≌△ ADN . （ AAS ）
∴ AM ＝ AN ， CM ＝ DN .
在Rt△ ABM 和Rt△ ABN 中，
∴Rt△ ABM ≌Rt△ ABN . （ HL ）
∴ BM ＝ BN .
∴ BM － CM ＝ BN － DN ，即 BC ＝ BD .
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
两个直角三角形全等的判定方法：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
简记为“斜边、直角边”或“HL”．
A
B
C
A ′
B′
C ′
几何语言：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ ( HL )
板书设计
两个直角三角形全等的判定方法：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
简记为“斜边、直角边”或“HL”．
课题：14.2.5.1两个直角三角形全等的判定
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，AD=AE，补充下列一个条件：
可以根据“HL”判断△ABE≌△ACD.
AB=AC
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．如图所示，在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D, BC= BD.
如果AC= 3cm,那么AE+DE等于( )
A.2cm B.3cm
C.4cm D.5cm
B
3.如图,点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥ AB于点M,ON⊥ BC于点N.若OM=ON,则∠ABO的度数为 .
15°
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4．如图,∠A=90° ,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作BC的垂线DE交AB于点E,则有( )
A. BE=DE
B. DE=AE
C. AE=BE
D. AE=BD
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
B
5.如图，两棵大树间相距13m，小华从点 B 沿 BC 走向点 C ，行走一段时间后他到达点 E ，此时他仰望两棵大树的顶点 A 和 D ，两条视线的夹角正好为90°，且 EA ＝ ED . 已知大树 AB 的高为5m，小华行走的速度为1m/s，则这时行走的时间是（ ）
A.13s B.8s
C.6s D.5s
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10Cm，BC=5Cm，一条线段PQ=AB；P、Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【综合拓展类作业】
作业布置
解：(1)当P运动到AP=BC时：
∵∠C=∠QAP=90°
∵在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ=AB，AP=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
∴AP=BC=5cm
6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB；P、Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【综合拓展类作业】
作业布置
解：(2)当P运动到与C点重合时，AP=AC：
在Rt△ABC与Rt△QPA中：∵PQ=AB，AP=AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），∴AP=AC=10cm
∴当AP=5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
ThAnks!
2
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分课时教学设计
《14.2.5.1两个直角三角形全等的判定》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课探索的是直角三角形全等的条件。通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材。三角形全等是贯穿这一章的主线， 是初中阶段证明线段及角相等的主要工具。而探索斜边与直角边长度之比则是以后学习三角函数的基础.因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础.
学习者分析 这节课是在学生掌握了一般三角形全等的判定方法的基础上，探索直角三角形全等的特殊方法。由于学生已具备了一定的学习经验，让学生自主探究直角三角形全等的判定方法，符合学生的认知过程。
教学目标 1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“ HL ”，培养学生观察、归纳及动手能力； 2.会用直角三角形全等的判定方法“ HL ”判定两个直角三角形全等； 3.在经历探索直角三角形全等的过程中，发展学生的几何直观感知能力和推理能力； 4.能够根据一定的已知条件作直角三角形，强化学生的作图能力。
教学重点 运用直角三角形全等的条件判定直角三角形的全等。
教学难点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 到目前为止，我们学过的可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？ 1.三角形全等的定义：能够完全重合的两个三角形全等. 2.全等三角形的判定定理(SAS)： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 3.全等三角形的判定定理(ASA)： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 4.全等三角形的判定定理（SSS）： 三边分别相等的两个三角形全等. 5.全等三角形的判定定理（AAS）： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．学生活动1： 学生回忆思考，并积极回答.活动意图说明： 通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：直角三角形全等的判定方法“HL”教师活动2： 思考： 我们知道判定两个三角形全等，除了以上的方法外还可以通过观察它们是否完全重合得到验证，那这些方法对于直角三角形是否适用呢？ 已知：Rt△ABC，其中∠C 为直角［如图］． 求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′ ＝ AC，A′B′ ＝ AB． 作法：(1)画∠MC′N=∠C=90°； (2)在射线C′M上取C′A′=CA； (3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′； (4)连接A′B′ ． 则Rt△A′B′C′就是所求作的直角三角形． 将画好的 Rt△A′B′C′与 Rt△ABC 叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？ 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 两个直角三角形全等的判定方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”． 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ ( HL ) 例 7 已知：如图，∠BAC＝ ∠CDB＝90°， AC ＝ DB． 求证：AB ＝ DC． 证明 ∵ ∠BAC ＝ ∠CDB ＝90°，（已知） ∴ △BAC，△CDB 都是直角三角形． 又 ∵ AC ＝ DB，（已知） BC ＝ CB，（公共边） ∴ Rt△ABC Rt△DCB．（HL） ∴ AB ＝ DC．（全等三角形的对应边相等） 通过上面的学习我们可以总结出两个直角三角形全等的判定方法有以下五种: ①SAS；②ASA；③SSS；④AAS；⑤HL. 学生活动2： 学生尝试用学过的知识思考，并回答. 学生小组合作交流，得出结论。 学生总结两个直角三角形全等的判定方法——HL。 学生完成例题。活动意图说明： 通过实际操作，探究已知直角三角形的斜边和其中一条直角边如何确定一个三角形的大小和形状，最后结合实际操作得出结论，锻炼学生的总结概括能力；通过总结概括判定两个直角三角形全等的思路，让学生更好地理解、掌握判断两直角三角形全等的方法；通过例题的分析和解答，巩固、增强对两直角三角形全等的判定定理——HL的认识和理解，培养学生分析问题，解决问题的能力。
板书设计 课题：14.2.5.1两个直角三角形全等的判定 两个直角三角形全等的判定方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 简记为“斜边、直角边”或“HL”．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°. 若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的条件可以是( C ) A.∠ABC=∠ABD B.∠BAC=∠BAD . C. AC= AD D. AC= BC 2.如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是( C ) A.BD>CD B.BD课堂总结 两个直角三角形全等的判定方法： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”． 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ ( HL )
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，AD=AE，补充下列一个条件： AB=AC 可以根据“HL”判断△ABE≌△ACD. 2.如图所示，在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D, BC= BD.如果AC= 3cm,那么AE+DE等于( B ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 3.如图,点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥ AB于点M,ON⊥ BC于点N.若OM=ON,则∠ABO的度数为 15° . 选做题： 4如图,∠A=90° ,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作BC的垂线DE交AB于点E,则有( B ) A. BE=DE B. DE=AE C. AE=BE D. AE=BD 5．如图，两棵大树间相距13m，小华从点 B 沿 BC 走向点 C ，行走一段时间后他到达点 E ，此时他仰望两棵大树的顶点 A 和 D ，两条视线的夹角正好为90°，且 EA ＝ ED . 已知大树 AB 的高为5m，小华行走的速度为1m/s，则这时行走的时间是（ B ） A.13s B.8s C.6s D.5s 【综合拓展类作业】 6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB；P、Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 解：(1)当P运动到AP=BC时： ∵∠C=∠QAP=90° ∵在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ=AB，AP=BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， ∴AP=BC=5cm (2)当P运动到与C点重合时，AP=AC： 在Rt△ABC与Rt△QPA中：∵PQ=AB，AP=AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），∴AP=AC=10cm ∴当AP=5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
教学反思 由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解．
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