江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评数学试题（含解析）

江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.设，，，则
A. B. C. D.
5.在等差数列中，，，（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，则（ ）
A.有三个极值点 B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线
7.若的展开式中二项式系数和为64，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A.存在点，使得直线与直线所成的角为30°
B.存在点，使得直线与直线所成的角为60°
C.存在点，使得三棱锥的体积为
D.存在点，使得平面
10.已知函数的定义域为，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.为偶函数
C.的周期为4 D.
11.已知圆，则（ ）
A.圆与直线必有两个交点
B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C.圆与圆恰有三条公切线，则
D.动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案.若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为 .
13.在中，，点在线段上，，，，点 是外接圆上任意一点，则最大值为 .
14.为坐标原点，双曲线的左焦点为，点在上，直线与直线相交于点，若，则的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知正项数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2），证明：.
16.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，若有两个零点，求实数的取值范围.
17.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.
（1）若，证明：平面；
（2）若二面角的正切值为5，求的长.
18.为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7位用餐顾客进行调查，得样本数据如下：
相关公式：，
参考公式：，
.
（1）求消费（单位：美元）关于消费（单位：美元）的线性回归方程（其
中的值精确到0.001）；
（2）试用（1）中的回归方程估计当消费200美元时，要付多少美元的消费（结果精确到整数）？
19.已知抛物线，圆，为坐标原点.
（1）若直线分别与抛物线相交于点（在的左侧）、与圆相交于点（在的左侧），且与的面积相等，求的取值范围；
（2）已知是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.D 解析：由并集定义可得.
2.C 解析：∵，∴.
3.A 解析：由，
∴.
4.D 解析：∵，，，
而，∴.
5.C 解析：由等差数列性质可知，仍为等差数列，
∴，∴.
6.C 解析：对于A，由题得，令可得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴是极值点，故A错误；
对于B，∵，，，
∴函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
对于C，令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，点是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
∴点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，
当切点为时，切线方程为，故D错误.
7.D 解析：∵二项式系数和为，∴.
8.B 解析：如图，为等边三角形，为中点，
作平面的垂足为，
设，则，
根据正棱锥性质，则，，
根据线面角的定义，三棱锥的侧棱与底面所成角为，
则.
二、选择题
9.CD 解析：建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设，即点，且，
对于A,B,，，则，即，
因此不存在点，使得直线与直线所成的角为30°或60°，故A，B错误；
对于C，假设存在点，，
且点到平面的距离为，则，
解得，当点为线段的靠近 三等分点，即时，三棱锥的体积为，故C正确；
对于D，假设存在点，则，，，
∴，解得，当点为线段的中点，即时，
使得平面，故D正确.
10.ABD 解析：对于A，,故A正确；
对于B，根据，及
得，
令，可得，且，可得，
令，则，
则，即，可知为偶函数，故B正确；
对于C：令，则，
可知,,
可得，则，
∴，可知的周期为6，故C错误；
对于D，∵，且，，
令，可得，∴，则，，，，
∴，
又周期为6，∴，
故D正确.
11.AC 解析：对于A，将直线整理得，
∴直线过定点，∵，∴该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，
∴过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点，
且到直线的距离为1，
与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到直线的距离为1，
∴只有三个点满足题意，故B 错误；
对于C，将圆化为标准形式为：，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴，
解得，故C正确；
对于D，连接，∵为切点，∴,
∴，且当最小时，最小，
∴当与直线垂直时，，
又∵半径为2，∴,
∴，，
故D错误.
三、填空题
12.36 解析：设事件A表示“两道题全做对”，
若两道题都有思路，则；
若若两个题目中一个由思路一个没有思路，则；
故.
13. 解析：由题意可得：，
∴,
解得，则，
设的外心为，外接圆的半径为为，
由正弦定理得：,解得，
可得.
由平面向量的线性运算知，,
∴,
由图可知：.
当且同向时，,
∴最大值为.
14. 解析：由题意得为双曲线的一条渐近线，
设双曲线的右焦点为，
连接，∵，∴，
故,，
由双曲线定义得，即，故，
设，则，解得，
这里取，则，
∵，则，又，
故，
化简得，故.
四、解答题
15.解：（1）由，
得，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）证明：
∵，
∴
.
16.解：（1）当时，，则，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2），
由，可得，由题意可得，的图象有2个交点，
令，则，令可得，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，且时，，，
∴h时，，∴的大致图象如图，
∴若有两个零点，则，
∴实数的取值范围为.
17.解：（1）取的中点，连接，如图，
在四棱台中，
四边形是梯形，，
又点是棱的中点，∴，且.
在正方形中，，，又，∴.
从而且，∴四边形是平行四边形，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）在平面中，作于.
∵平面⊥平面，平面∩平面，，
平面，∴平面.
在正方形中，过作的平行线交于点，则.
以为正交基底，建立空间直角坐标系.
四边形是等腰梯形，， ∴
又，∴.
易得，
，
∴.
设，∴.
设平面的法向量为，
由，得，令，可得，
另取平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，由题意得.
又，∴，
解得（舍去负值），因此.
∴当二面角的正切值为5时， 的长为1.
18.解：依题意可得，
，
，
，
∴，
∴关于的线性回归方程.
（2）由（1）可得当时，，
∴估计消费200美元时，要付10美元的消费.
19.解：（1）∵与面积相等，
且与的高均为原点到的距离，
∴，则，
设，
则，即，
直线代入抛物线，整理得，
∵直线与抛物线交于点两点，∴，则，
若直线代入圆，
整理得，
∵直线与圆交于两点，∴，
即，∴，
由，得，又，则，
将其代入，解得.
将其代入，解.
综上，的取值范围为.
（2）由题，易知直线斜率一定存在，
设，则，
则直线的方程为：，即，
圆的圆心为，半径为，
∵直线与圆相切，则，
平方化简得：，
看成关于为变量的式子得：，
同理，直线与圆相切，化简得，
∴可以同构出直线的方程为：，
∴圆心到直线的距离为：
，
此时圆心到直线的距离为定值，定值为1.