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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 13.5.2 线段垂直平分线
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握线段垂直平分线的性质定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理解题. 2.通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
课前学习任务
复习引入 问题：有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
课上学习任务
【学习任务一】 问题1：如何作已知线段的垂直平分线呢？ 问题2：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线， 在MN上任取一点P，分别联结PA，PB.那么线段 PA与PB的长度相等吗？ 猜想：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等. 如何证明这个命题呢？ 已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线， 垂足为C，点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 【学习任务二】 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知:线段AB,且PA=PB 求证:点P在线段AB的垂直平分线MN上. 【学习任务三】 【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线. 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 试试看，你会写出证明过程吗？ 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . 选做题： 2.已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长. 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC． 选做题： 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC、BC的长. 【综合拓展类作业】 4.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？
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分课时教学设计
第18课时《13.5.2 线段垂直平分线》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过经历线段垂直平分线性质定理证明过程,掌握线段垂直平分线的性质定理．
学习者分析 通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识,使学生发现数学．
教学目标 掌握线段垂直平分线的性质定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理解题. 2.通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
教学重点 掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理．
教学难点 线段垂直平分线的定理及其逆定理的应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 问题：有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题.体会数学来于生活，又服务于生活，学生带着问题去听课可以激发学生学习的积极性． 环节二：教师活动2： 问题1：如何作已知线段的垂直平分线呢？ 问题2：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线， 在MN上任取一点P，分别联结PA，PB.那么线段 PA与PB的长度相等吗？ 猜想：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等. 如何证明这个命题呢？ 已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线， 垂足为C，点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明： ∵MN ⊥AB（已知）, ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知:线段AB,且PA=PB 求证:点P在线段AB的垂直平分线MN上. 证明:过点P作PC⊥AB垂足为C. ∵ PA=PB(已知) ∴ △PAB是等腰三角形(等腰三角形的定义) ∴AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线) ∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直平分线MN上. 判定定理 到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 该定理只能判定一个点在线段的中垂线上，那么如何判定一条直线是线段的中垂线呢？ 要证明几个点在线段的中垂线上呢？ 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法. .环节三：教师活动3 【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线. 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和点B为圆心，以大于 AB一半两弧相交于点C和D； 的长为半径作弧， 2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线． 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 试试看，你会写出证明过程吗？学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . 选做题： 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC． 选做题： 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC、BC的长. 【综合拓展类作业】 4.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
（华师大版）八年级
上
13.5.2 线段垂直平分线
全等三角形
第13章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能
利用它们来进行证明或计算.(重点、难点)
2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3.了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
新知讲解
情境导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
新知讲解
知识点一 线段垂直平分线的性质
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
新知讲解
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
M
N
P
A
C
B
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
新知讲解
提炼概念
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
知识归纳
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
典例精析
【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
新知讲解
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
新知讲解
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
新知讲解
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
新知讲解
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
新知讲解
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
做一做
怎样证明这个结论呢
新知讲解
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
解:设AB的垂直平分线交AB于点D，AC的垂直平分线交AC于点G.
则图中相等的线段有：AD=BD，BE＝AE，AG=CG，AF＝CF.
△AEF的周长为AE＋EF＋AF=BE+EF+FC=BC=2.
D
G
课堂总结
线段垂直平分线
性质
①定理：线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等.
②作用：由线段垂直平分线得线段相等
判定
①定理：到线段两段距离相等的点在线段
的垂直平分线上.
②作用：判断一个点是否在线段的垂直平
分线上
三角形三条边的垂直平分线交于一点
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC．
B
A
C
D
E
证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∠EDB＝90°.∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠DBE.∵∠C＝∠EDB＝90°，BE＝BE，∴△BED≌△BEC，
∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC、BC的长.
A
B
C
E
D
解：∵D是AB的中点，DE⊥AB.
∴DE为AB的中垂线.
∴AE=BE.
∵△BCE的周长为12.
∴BC+CE+BE=12.∴AC+BC=12.
∵AC-BC=2.
∴AC=7，BC=5.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？
2.连接A'B，交a于点P.
作法：1.做点A关于a的对称点A'.
点P即为抽水站的位置.
A
B
a
A'
P
