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教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 海伦-秦九韶公式
教科书 书 名：义务教育教科书八年级下册数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年12月
教学目标
理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同，会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养学生严谨的数学逻辑思维，提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 体会数学以不变应万变的魅力，提高学生文化修养,进行爱国主义教育.
教学内容
教学重点：变形秦九韶公式得到海伦公式的过程。 教学难点：会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
教学过程
问题导入 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少 转化为数学语言为下列图形： 【数学问题】在△ABC中，已知a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积. 运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？ 二、探究新知 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式s= ①； 古希腊的几何家海伦提出如果一个三角形的三边长分别为a,b,c.记：p=(a+b+c),那么三角形的面积为s= ②. 问题：两个公式都是利用三角形的三边求面积，它们之间有什么联系？能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 对秦九韶公式进行变形有 利用平方差公式＝ 展开得 通分后得到 分子通过完全平方公式简便，有 又由平方差公式可得 用p代替得 说明：海伦公式与秦九韶公式实际上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式. 三、练习巩固 1.如图1，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=6，请你用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积. 2.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用符号表示即为s=(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).请利用这个公式求.a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积. 四、课堂总结 海伦－秦九韶公式 1.海伦：古希腊数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等 海伦公式s= 2.秦九韶：南宋著名数学家，代表作《数书九章》等 秦九韶公式s= 五、布置作业 1.请同学们自主探究证明海伦公式的其他方法并与同学交流。 2.简单四边形的面积和它的四条边存在着什么关系呢？ 尝试猜想并证明。 【学习感悟】对早已正确认定的定理作进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。 ——克莱因中小学教育资源及组卷应用平台
学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 海伦-秦九韶公式
教科书 书 名：义务教育教科书八年级下册数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年12月
教学目标
理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同，会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养学生严谨的数学逻辑思维，提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 体会数学以不变应万变的魅力，提高学生文化修养,进行爱国主义教育.
课前学习任务
1. 回顾勾股定理及三角形的面积公式。
2. 熟记完全平方公式，平方差公式
课上学习任务
【学习任务一】在△ABC中，已知a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积.
【学习任务二】对秦九韶公式进行变形探索秦九韶公式与海伦公式的联系。
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作业练习
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 海伦-秦九韶公式
教科书 书 名：义务教育教科书八年级下册数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年12月
作业练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝＋1，BC＝－1，AB＝2，求CD的长. 2.设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4，a＝，求b. 3.长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b，已知a＝2，b＝3，求S. 4.如图，要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈，它们的面积分别为32平方米和50平方米，求栅栏的总长度.
作业答案
1.解：在Rt△ABC中，S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴(＋1)(－1)＝2CD， ∴2CD＝()2－12＝3－1＝2， ∴CD＝＝，即CD的长为. 2.解：b＝S÷a＝4÷＝. 3.解：∵a＝2，b＝3， ∴S＝2×3＝6×2＝6×5×2×4＝240. 4.解：∵两个相邻的正方形羊圈的面积分别为32平方米和50平方米， ∴两个相邻的正方形羊圈的边长分别是4米和5米， ∴需要的栅栏的总长度是4×3＋5×4＝32(米). 答：栅栏的总长度为32米.(共18张PPT)
阅读与思考 海伦—秦九韶公式
学习目标
1
理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；
2
经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养严谨的数学逻辑思维；
3
通过阅读相关数学史，体会到我国古代数学的辉煌成就是许多数学家们心血和汗水的结晶，学习数学家秦九韶善于继承又勇于创新、攀登高峰的高尚品德。
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少
问题导入
转化为数学语言为下列图形：
A
B
C
小斜一十三里
中斜一十四里
大斜一十五里
运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
在△ABC中，已知=15，=14，，求△ABC的面积.
A
B
C
=14
=15
解：
A
B
C
=14
=15
利用勾股定理得：
h2=132-x2,h2=142-(15-x)2
∴132-x2=142-(15-x)2
解得：x=6.6 则h=11.2
∴S△ABC=×15×11.2=84
∟
x
D
h
过A点作AD⊥BC于D，设BD=x，CD=15-x，AD=h
我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
②
S=
阅读与思考
如果一个三角形的三边长分别为a,b,c.记：p= (a+b+c),那么
三角形的面积为
S=
古希腊的几何家海伦（Heron,约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式 和它的证明，这一公式称为海伦公式。
能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
下面我们对公式②进行变形：
平方差公式
通分
完全平方公式
平方差公式
用代替得
秦九韶公式
海伦公式
秦九韶公式
海伦公式
这说明海伦公式与秦九韶公式实际上是同一个公式，所以我们也称 为海伦-秦九韶公式.
A
B
C
4
5
6
图1
如图1，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=6，请你用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积.
解：∵＝，
∴＝
∴S＝
＝
＝
＝
我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用符号表示即为
S＝(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).
请利用这个公式求a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积.
知识应用
解：∵a＝，b＝3，c＝2，
∴a2＝5，b2＝9，c2＝12，
∴三角形的面积
S＝
＝
＝.
海伦－秦九韶公式
海伦：古希腊数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等
海伦公式
秦九韶：南宋著名数学家，代表作《数书九章》等
秦九韶公式
课堂总结
布置作业
1.请同学们自主探究证明海伦公式的其他方法并与同学交流。
2.简单四边形的面积和它的四条边存在着什么关系呢？
尝试猜想并证明。
对早已正确认定的定理作进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。 ——克莱因
学习感悟
