青岛版（六三制）数学八年级上册 2.4线段的垂直平分线 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
线段的垂直平分线
　一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过
轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称
图形，这条直线就是它的对称轴。
一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另
一个图形 ，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
A′
A
B
C
B′
C′
重合
1.了解轴对称及线段垂直平分线的性质和判定。
2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题。
3.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的
对称轴。
4.作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
【概念】
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
如图所示：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，
则：①AD=BD，
②∠ADM=∠BDM=∠AND=∠BDN=90°。
A
B
M
N
D
画线段AB的垂直平分线l，在l上取任意点P，量一量
点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几个点试试。你能
说明理由吗？
结论：线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等。
反过来，若AP=BP，则P在线段AB的垂直平
分线上。
结论：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端距离相等的
所有点的集合。
2.如图，NM是线段AB的垂直平分线，下列说
法正确的有：
①AB⊥MN，②AD=DB， ③MN⊥AB，
④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
A
B
M
N
D
①②③
1.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则
EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分
线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上
的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB。其
中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
练一练
问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何
一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称
图形的对称轴如何来作呢？
只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴了。
如何作出线段的垂直平分线？
由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端距离相等的两点并连接即可。
作线段的垂直平分线。
已知：线段AB，
求作：线段AB的垂直平分线。
A
B
C
D
作法：
（2）作直线CD。
CD即为所求。
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧分别交于C，D两点；
图中的五角星有几条对称轴？作出这
些对称轴。
A
B
【解析】作法（1）找出五角星
的一对对应点A和B，连接AB。
（2）作出线段AB的垂直平分线n。
则n就是这个五角星的一条对称
轴。
n
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴。
【跟踪训练】
2.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直
平分线交于点P。
（1）求证：PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线
上呢？由此你能得出什么结论？
A
P
C
B
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点
到三角形三个顶点的距离相等。
通过本课时的学习，需要我们：
1.了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质。
2.会灵活运用这些性质来解决问题。
3.用尺规作出线段的垂直平分线。并据此得到作出一个
轴对称图形的一条对称轴的方法。
4.找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，
作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形
的对称轴。
有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学
校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。
A
B
C
【解析】学校在连接任意两
点的两条线段的垂直平分线
的交点处，即P点处。
P
2.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于
E，交AC于D，求△BCD的周长。
D
C
B
E
A
【解析】
∵ED是线段AB的垂直平分线
∴
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
∴ △BCD的周长=
=
=
BD=AD
AD+DC+BC
AC+BC
12+7=19
3.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的
周长为28cm， DE是BC的垂直平分线，根据这
些条件，你可以求出哪条线段的长？
（1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm；
（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm；
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB。
（4）综上可得BC＝10cm。
【解析】
【解析】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的
交点即是要建的公共汽车站所处的位置。
4.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个
公共汽车站。使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽
车站应建在什么地方？
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。
——康托尔
回顾思考：
1.什么叫线段的垂直平分线？
2.线段垂直平分线的性质有哪些？
3.如何用尺规作图法作一条线段的垂直平分线？
已知线段AB，画出它的垂直平分线。
做一做
说出你的作图思路
这也是一个最基本的尺规作图
作法：
（1）分别以A、B两点为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；
（2）过C、D两点作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。
A
B
D
C
思考：在上面的作图过程中，为什么必须以大于 的长为半径作弧呢？
实验与探究：
利用基本作图 “作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段中点的这条线段的垂线，能利用这一基本作图特点作“过一个点作已知直线的垂线”吗？
提示：由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论。
（1）已知直线l 和直线上一点P
求作：过点P作直线l 的垂线
作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，
与直线L交于点A与点B ；
②作线段AB的垂直平分线CD，
则直线CD就是求作的过点P的直线L的垂线。
．
D
C
A
B
P
L
（2）已知直线L和L外一点P；
求作：直线CD⊥L，且CD经过点P
分析：也要设法先在直线L上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等，再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线L垂直。
作法：①任意取一点K，使点K和点P在直线L的两侧；
②以点P为圆心，PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A和点B；
③作线段AB的垂直平分线CD。
则直线CD就是过点P的直线L的垂线。
D
C
·
k
·P
L
A
B
例1.海伦是古希腊的一位数学家，测量学家。相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河L边让马饮水。怎样走路程最近呢？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线。
·
·
A
L
B
作法（1）作点B关于直线L为对称轴的对称点B′；
（2）连接A B′，与直线L将交于点P；
（3）连接BP，
即 A---P----B就是最短路线
点P就是所求作的直线L使AP+BP的值最小的点。
·B′
P
请你说明作图的道理
·
·
A
L
B
P
·B′
理由：因为点B、B′关于直线L对称，根据轴对称的基本性质，L是BB′的垂直平分线，所以PB=PB′。如果再在直线L上另取一点P ′，
连接AP ′，B′P ′，
根据三角形的三边关系的性质（或两点之间线段最短）可知：
AP ′+ B′P ′>AB′，
即AP ′+ B′P ′>AP+BP，
所以AP + BP 的值最小，
将军走的路程最近。
·
P′
挑战自我
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任意一点，你能在AC边上找出一点E，使BE+ED最小吗？画出图形，并说明理由。
你能在BC边上找出一点F，使AF+FD最小吗？画出图形，并说明理由。
B
C
·
D
A
谢 谢