第二十二章 二次函数 单元练习（含答案）2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．已知抛物线过点， 则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．将抛物线 向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
3．把抛物线y=-x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（　　）
A．y=-（x+1）2+3 B．y=-（x+1）2-3
C．y=-（x-1）2-3 D．y=-（x-1）2+3
4．抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．二次函数的顶点坐标为，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（　　）
A．
B．
C．关于x的方程没有实数根
D．关于x的方程的负实数根取值范围为：
6．抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：；；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有个．（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
7． 已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为（1，﹣3）
8．如图，抛物线与x轴交于点A(－6，0)．点，是抛物线上两点，当t≤x≤t＋3时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知非负数 ， ， 满足 且 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是（　　）
A．16 B．15 C．9 D．7
10．抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点．则下列四个结论正确的有（　　）
①；②；③若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．二次函数y＝（x+2）2﹣7的最小值为　 　.
12．如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为　 　．
13．将函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到函数 的图象，则 的值为　 　.
14．如图是抛物线y=ax +bx+c的部分图象，其顶点为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间.下列结论∶①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④关于 x的方程α +bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中正确结论的序号是　 　
15．如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 ，将 向右平移得 ， 与x轴交于点B， 若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是　 　
16．如图，已知抛物线与直线交于点，，点，的横坐标分别是，，则不等式的解为　 　.
17．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4x（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3 如此进行下去，直至得抛物线C2021．若点P（m，3）在第2021段抛物线C2021上，则m＝　 　．
18．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝ BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG.则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+ ）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是 a2；⑤当时BE＝ a，G是线段AD的中点.其中正确的结论是　 　.
三、解答题
19．如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式；
（3）已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值．
20．已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式．
21．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了多远？
22．已知二次函数与轴只有1个交点，且经过点，求二次函数的表达式．
23．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边的长为米（要求），矩形的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？
24．已知，二次函数．
（1）用含的代数式表示抛物线图象的顶点坐标．
（2）若这个二次函数的图象经过点，
①当，求的取值范围．
②当时，时，结合函数图象，求出的取值范围．
25． 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】﹣7
12．【答案】
13．【答案】2
14．【答案】①③④
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】8081或8083
18．【答案】①④⑤
19．【答案】（1）
（2）
（3）
20．【答案】
21．【答案】汽车刹车后到停下来前进了m．
22．【答案】解：二次函数与轴只有1个交点，则，
即，
解得，
∴，
把代入得
∴，
∴．
23．【答案】（1）S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
（2）AB边的长为9米
24．【答案】（1）解：，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：①把代入y=x2+2bx+b2-2（b>0）得b2-2=-1，
解得b=1，或b=-1（舍去），
∴b=1，
∴解析式为：y=x2+2x-1，
∴图象开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为，
∴x=3时，y=14，
当-2②当y=7时，x2+2x-1=7，
解得x=-4或2，
∵图象开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为，
∴当k≤x≤2时，-2≤y≤7，k的取值范围为-4≤k≤-1.
25．【答案】（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得
，解得，
∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：如图1
，
作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，
因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积；
而三角形ABC的面积不变，
所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大；
令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
所以A(-1，0)B(3，0)
∴AB=4，又OC=3
∴S ABC=；
BC解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．
PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
S△BCP=S△BEP+SCEP=PE×FB+EP OF
=EP OB
=×3[﹣（m﹣）2+]
当m=时，S最大=×3×=，
m2﹣2m﹣3=﹣，
此时P（，﹣）；
所以此时，四边形ABPC的面积的面积也最大；
S四边形ABPC= S△BCP+ S ABC=6+
∴此时P点的坐标（，﹣），四边形ABPC的最大面积为 ．
（3）解：存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2
，
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，
∴OP'=OP，CP'=CP，
∴OP'=OP=CP'=CP，
∴四边形POP'C为菱形，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴E点坐标为（0，﹣），
∴点P的纵坐标为﹣，
把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣，
解得x=，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=，
∴满足条件的点P的坐标为（，﹣）．