山东省济南市山东省实验中学2025届高三上学期第一次诊断考试 数学（含答案）

山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题
2024.10
说明：本试卷满分150分。试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
2.在的展开式中,常数项为
A. B. C. D.
3.已知为奇函数,则曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
4.在中,“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.由这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有
A.98个 B.105个 C.112个 D.210个
6.已知函数在R上满足,且当时,成立,若,则的大小关系是
A. B. C. D.
7.若,则
A.-1 B.1 C. D.-1或
8.已知函数,若有6个零点,则的取值范围是
A. B. C.[4,5] D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.已知,下列说法正确的是
A.若，则 B.若,则
C. D.
10.已知分别为随机事件A,B的对立事件,,则
A. B.
C.若A,B独立,则 D.若A,B互斥,则
11.已知函数在区间上有两个不同的零点,,且,则下列选项正确的是
A.的取值范围是 B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若,且,则___________.
13.已知二次函数的值域为,则的最小值为___________.
14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为，则事件“”发生的概率为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知函数.
（1）求的值;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)求函数在区间上的值域.
16.(15分)设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,,都有,且.
(1)求;
(2)证明:函数的一个周期为2;
(3)记,求.
17.（15分）甲、乙两家公司进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立.若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为，报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，其中.
（1），分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围.
18.(17分)已知函数；
（1）求函数的极值;
（2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中e为自然对数的底数),求ab的最大值;
（3）实数m,n满足,求证:.
19.(17分)已知定义域为的函数是关于的函数,给定集合U且，当取U中不同的数值时可以得到不同的函数.例如：定义域为的函数，当时，有，若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点,则称是上的“悦动函数”.
（1）设，若函数是上的“悦动函数”，求集合；
（2）设,若不存在集合使为上的“悦动函数”，求所有满足条件的集合的并集；
（3）设为上的“悦动函数”，满足，，若对于任意，均有的零点，求实数的最大值.
山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试
数学试题答案 2024.10
一、单项选择题
BCDAD BCD
二、多项选择题
BCD ACD BCD
三、填空题
四、解答题
15.（13分）解：（1）
……………………..3分
则；………………………………………………………5分
（2）令:,解得
的单调递增区间为:；……………………………9分
（3）因为…………………………………………11分
,
在区间上的值域为:.………………………………………13分
16.（15分）解：（1）因为对任意的,都有,
所以,……………………………………1分
又,
,……………………3分
………………………………………………………………5分
（2）因为的图象关于直线对称，故,
即……………………………………………………………7分
又是偶函数,
所以,……………………………………………………………9分
,
将上式中以代换,得（这一步不写不扣分）
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期……………………………………………10分
(3)由（1）知,
………………………………………………………………12分
所以……………………………………………………………………………………15分
的一个周期是2,
,因此.……………………………………………………………15分
17.（15分）解：（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件，小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件，………………………………………………………………………………………1分
根据题意可得，……………………………………………………………3分
..……………………………………………………6分
(2)设小明报考甲公司通过的科目数为，报考乙公司通过的科目数为，
根据题意可知，，则，……………………………………………8分
的取值为0,1,2,3,…………………………………………………………………………………………9分
………………………………………………………………………………13分
所以,……………………………………………14分
令,即,解得,
即的取值范围是……………………………………………………………………………15分
18.(17分)解:（1）由函数，得
,…………………………………………………………………………………………1分
当时,,当时,,
则函数在上单调递减,在上单调递增,…………………………………………3分
所以当时,函数取得极小值,无极大值.…………………………………………………4分
(2)(法一)函数,求导得,函数在上单调递增,
依题意,,即,解得,…………………………………………………6分
当时，令，
,所以在单调递增,………………………………7分
因为,所以存在唯一实数
在上,,在，
所以在上单调递减,在上单调递增,………………………………………………8分
因为,
又
所以不等式在区间上成立………………………………………9分
于是,当且仅当时取等号,
所以ab的最大值是.………………………………………………………………………………10分
（法二），……………………………………………………5分
令,则,
若,则恒成立,所以在单调递增,…………………………………………7分
所以,即.
所以,当时,ab取最大值.…………………………………………………8分
若,因为,所以当时,不等式在成立,不合题意,当时,.…9分
综上ab的最大值.……………………………………………………………………………10分
（3）（法一）依题意，,……11分
令,由,得,令,求导得,
函数在上单调递增,,因此,
即,于是;
,…………………14分
令,求导得,函数在上单调递减,
,…………………………………………………………………………………16分
因此,即,则,
所以…………………………………………………………17分
(法二)
.……………………………………………………………………………13分
令,则
当时,,所以在上单调递增,
当时,,所以在上单调递减,
所以,即,………………………………………………………15分
所以成立,即原不等式成立.………………17分
19.（17分）解：（1）依题意，所求的A为使得在上有零点的全体。
由于在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
注意到当时，的取值范围是(0,9]，…………………………………………………………2分
故关于的方程在上有解,
当且仅当,从而所求.………………………………………………………………4分
（2）依题意，不存在集合A使为A上的“悦动函数”，
当且仅当对任意的在上都不存在零点.
这表明，全体满足条件的的并集，
就是使得在上不存在零点的全体构成的集合。
从而我们要求出全部的,
使得在上没有零点，
即关于的方程在上没有解.………………………………6分
该方程在上可等价变形为，
①当时，方程恒无解，…………………………………………………………………………7分
②当时,可变形为.
因为,所以令,解得或分
综上，使得在上没有零点的构成的集合为，
故所求的集合为.…………………………………………………………………10分
（3）首先用数学归纳法证明：对任意正整数，有.
当时,有,故结论成立;
假设结论对成立，即，则有:
故结论对也成立。
综上，对任意正整数，有。
当为奇数时，对，
有,
所以在上没有零点；
当为偶数时，对，
有，
,
从而在上一定存在零点,
所以在上一定有零点.
故对在上有零点当且仅当是偶数.……………………………………………13分
因此,只需要求实数的最大值,使得对于任意,
均有的零点.
我们现在有，
由于当时，
有
故在上的零点必定大于2.
而对任意给定的，我们定义函数，
则。
取,
则当时，
有,
这表明在上单调递减,
所以当时，
有，
取正整数,使得且,
则我们有
,
但我们又有,
这表明在上必有一个零点,
从而在上必有一个满足的零点.………………………………………16分
综上所述,的最大值是2.……………………………………………………………………………17分