初中数学人教版八年级上册 第十三章 轴对称单元测试（含答案）

第十三章 轴对称
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若点A（a，-1）与点B（-5，b）关于x轴对称，则a+b＝（　　）
A．5 B．﹣5 C．﹣4 D．4
3．如图，在的边BC所在直线上找一点P，使得为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（　 ）
A．10 B．10或11 C．11 D．7或11
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
6．如图，在中，，点D在上，且，则的度数是（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
7．如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，为等边三角形，且与相交于点，则（ ）．
A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定
9．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知点A(x，－4)与点B(6，y)关于x轴对称，那么x＋y的值为 ．
12．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ．
13．等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为　 　．
14．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A= °．
15．在边长为3的等边△ABC的AB边上任取一点D，作DF⊥AC交AC于F，在BC的延长线上截取CE＝AD，连接DE交AC于G，则FG的值为 ．

16．如图所示，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O点的直线MN∥BC，若AB=12，AC=14，BC=15，则△AMN的周长为 .
17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，CE是∠ACB的平分线，且交AD于P点．如果AP=2，则AB的长为 ．
18．如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 ．
三、解答题
19．如图，在等腰△ABC中，两条腰上的高BD和CE相交于O，问:△BOC是等腰三角形吗 为什么
20．如图，直角坐标系中．
(1)作出关于轴对称的(不写作法)；
(2)在轴上，当的周长最小时，画出点的位置(保留作图痕迹)，并写出点的坐标为______．
21．如图，与都是以A为顶点的等腰直角三角形，点B、A、E在一条直线上，延长交于F，连接．
(1)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)求证：平分．
22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，交BC于E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
(1)求证：BE=CF；
(2)在AB上取一点M，使得BM=2DE，连接ME
①求证：ME⊥BC；
②求∠EMC的度数．
23．探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝________度；
（3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．
24．如图，在边长为12cm的等边中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达A点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)用含t的代数式表示_______．
(2)是否存在t，使得为等边三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t，使得为直角三角形．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半）
参考答案：
1．B
2．C
3．C
4．B
5．B
6．A
7．D
8．B
9．A
10．D
11．10
12．
13．100°或80°．
14．30
15．
16．26
17．6
18．
19．△OBC是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∴∠ABC+∠BCE=90°，∠ACB+∠DBC=90°，
∴∠BCE=∠DBC，
即∠OBC=∠OCB，
∴△OBC是等腰三角形.
20．（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，点即为所求，
∵,
当且仅当三点共线时，的周长最小，
观察坐标系，可知．
21．（1）解：，，理由如下：
在与中，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：作于G，作于H，如图，
∵，
∴，
∴平分．
22．（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=45°=∠ABE．
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．
（2）①证明：过点E作EQ⊥AB于点Q，如图所示．
∵AE平分∠BAD，
∴∠QAE=∠DAE，
在△AEQ和△AED中，
，
∴△AEQ≌△AED（AAS），
∴QE=DE．
∵∠BQE=90°，∠QBE=45°，
∴∠BEQ=45°，
∴BQ=QE，
又∵BM=2DE=QE，
∴QM=QE，
∴∠QEM=∠QME==45°，
∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°，
∴ME⊥BC．
②设DE=a，则BM=2a．
∵△BEM为等腰直角三角形，
∴BE=EM=BM=a，
∴BD=BE+DE=（+1）a．
∵△ABC为等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AB=BD=×（+1）a=（2+）a，
∵BM=2a，
∴AM=（2+）a－2a=a，
∴AM=EM．
在Rt△MAC和Rt△MEC中，
，
∴Rt△MAC≌Rt△MEC（HL），
∴∠EMC=∠AMC，
又∵∠BME=45°，
∴∠EMC=（180°－45°）=67.5°
23．（1）解：结论：CE//AB．
理由：如图1中，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB//CE．
（2）证明：如图2中，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∵∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠AED+∠BEC=120°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠ADB+∠ADE=120°+60°=180°，
（2）结论：BE＝AE+EC．
理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠BAO＝∠OEC＝60°，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠ABH＝∠ACE，
∵BA＝CA，BH＝CE，
∴△ABH≌△ACE（SAS）
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH，
∴BE＝BH+EH＝EC+AE，
即BE＝AE+EC．
24．（1）解：点Q的速度为2cm/s， ，
故答案为：
（2）是等边三角形，
当时，是等边三角
解得
（3）①当时，如图，
即
解得
②当时候，如图
即
解得
综上所述，当或时，为直角三角形