2024-2025学年度北京市海淀区高三10月考数学试卷（PDF版，无答案）

数学试题
2024.10.06
本试卷共 4 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题纸
上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．设集合M = 2m 1,m 3 ，若 3 M ，则实数 m= ( )
A．0 B． 1 C．0 或 1 D．0 或 1
2．记 S 为等差数列 an 的前 n 项和．已知n S4 = 0，a ，则 ( ) 5 = 5
1
A． a = 2n 5 B．a = 3n 10 C．n n S
2
n = 2n 8n D． S = n
2
n 2n
2
3．已知 a = 0.31.5，b = log1.5 0.3，c =1.5
0.3 ，则 ( )
A．a4．设 (1 i)z = 2(1+ i) ，则 z = ( )
2
A． B．1 C． 2 D．2
2
5．下列函数中，既是偶函数又是区间 (0,+ )上的增函数的是 ( )
3x 3 x1
A． y = x B． y = y = lg x
x2
C． D． y =
2
6．已知向量 a = (3,4)，b = (1,0) ， c = a + tb，若 a,c = b,c ，则实数 t = ( )
A． 6 B． 5 C．5 D．6
7．函数 f (x) = cos(x + a)+ sin(x +b) ，则 ( )

A．若a+b = 0，则 f (x)为奇函数 B．若b a = ，则 f (x) 为偶函数
2

C．若 a b = ，则 f (x)为奇函数 D．若 a +b = ，则 f (x) 为偶函数
2
x , x 0
8．已知函数 f (x) = ，若对任意的 x 1有 f (x + 2m)+ f (x) 0恒成立，则实数 m 的
x , x 0
取值范围是 ( )
A． ( , 1) B． ( , 1] C． ( , 2) D． ( , 2]

9．已知 a ，b ， e是平面向量， e是单位向量．若非零向量 a 与 e的夹角为 ，向量b 满足
3
2
b 4e b+3= 0，则 a b 的最小值是 ( )
A． 3 1 B． 3 +1 C．2 D．2 3
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10．已知函数 f (x) = x +1+ k ，若存在区间 a,b ，使得函数 f (x) 在区间 a,b 上的值域为
a+1,b+1 ，则实数 k 的取值范围为 ( )
1 1
A． ( 1,+ ) B． ( 1,0] C． ( ,+ ) D． ( ,0]
4 4
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5 分，共 25分．
1
11．已知角 的终边与单位圆交于点 P( , y) ，则 sin( + ) = ．
2 2
12．记 S an 为数列 n 的前 n 项和，若 Sn = 2an +1，则 S6 = ．
13．若命题 2“对任意 x R， ax + 2x + a 0 ”为假命题的 a 的取值范围是 ．
14．若函数 f (x) = Acos x sin x(A 0)的最大值为 2，则 A = ， f (x) 的一个对称中
心为 ．
15．对于函数 y = f (x)，若在其定义域内存在 x0 ，使得 x0 f (x0) =1成立，则称函数 f (x) 具有性质
P．
（1）下列函数中具有性质 P 的有 ．
1
① f (x) = 2x+ 2 2 ； ② f (x) = x + , (x (0,+ ))；
x
③ f (x) = sin x(x 0,2π )； ④ f (x) = ln(x +1)．
（2）若函数 f (x) = a ln x具有性质 P，则实数 a的取值范围是 ．
三、解答题共 6小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16． (本小题 13 分 )
在△ABC 中，sin A = 2 sin B ，b = 2 ．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并解决下面的问题：
(Ⅰ)求角 B 的大小；
(Ⅱ)求△ABC 的面积．
条件①： c = 4；
2 2
条件②：b a = c
2 2ac ；
条件③：acos B = bsin A．
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17．(本小题 14 分)
已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和， S b5 = a11 = 20 ，数列 n 是公比大于 1 的等比数列，
且 b2 b b =123 = b6 ， 4 2 ．
(Ⅰ)求数列 an 和 bn 的通项公式；
Sn
(Ⅱ)设 cn = ，求使 cn 取得最大值时 n 的值． bn
18．(本小题 14 分)
3
已知函数 f (x) = 6cos xsin(x ) + ．
6 2
(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调增区间；
5
(Ⅱ)若函数 y = f (x) a 在 x [ , ]存在零点，求实数 a 的取值范围．
12 12
19．(本小题 14 分)
mx2 + x 1
已知函数 f (x) =
ex
，m 0．
(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性；
(Ⅱ)当m 0时，求证：函数 f (x) 在区间 (0,1) 上有且仅有一个零点．
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20． (本小题 15 分 )
已知函数 f (x) = ex sin x 2x ．
(Ⅰ)求曲线在点 (0, f (0))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f (x) 在区间[ 1,1]上的最大值；
(Ⅲ)设实数 a 使得 f (x) + x aex 对 x R恒成立，写出 a 的最大整数值，并说明理由．
21.（本小题 15 分）
已知数列 a ，记集合T = S(i , j) S(i , j) = ai + ai+1 + + a j ,1≤i j , i , j N n ．
(Ⅰ)对于数列 a 1，2，3，列出集合 T 的所有元素 n ： ；
(Ⅱ)若 an = 2n，是否存在 i , j N
，使得 S(i , j) =1024 ？若存在，求出一组符合条件的
i , j；若不存在，说明理由；
(III)若 an = 2n 2，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B :b1，b2 ， ，bm ， .
若bm 2020，求m 的最大值．
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