22.3 实际问题与二次函数 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
2．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（　　）米.
A．8 B．9 C．10 D．11
3．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度 与水平距离 之间的关系如图所示，点B为落地点，且 ， ，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为 ，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论错误的是（　　）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
A．足球距离地面的最大高度超过20m
B．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上
D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降．
6．如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
8．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
二、填空题
9．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为　 　．
10．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式，则小球距离地面的最大高度是　 　米．
11．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是　 　．
12．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 　 　s．
13．如图，正方形 的边长为4， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的动点， .则四边形 面积的最小值为　 　.
14．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 ，喷水口A距地面 ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪 所在直线的距离为 ，且到地面的距离为 ，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为　 　.
三、解答题
15．如图，长为25米，宽为12米的长方形地面上，修筑宽度均为m米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作草地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是45元/平方米．
（1）写出买地砖需要的费用y（元）与m（米）之间的关系式．
（2）计算当m＝2时，买地砖需要的费用．
16．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线L：经过点A，L与线段的另一个交点为点C（不与点B重合），为抛物线上点A，C之间的一动点．
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）求b，c的数量关系（要求有必要过程）；
（3）若L经过的中点，
①求L的解析式（要求有必要过程）；
②请直接写出点P到距离的最大值______．
17．某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)有如下表所示的关系：
销售单价x(元/千克) --- 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y(千克) --- 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图的坐标系中描点(x，y)，并用平滑的线连结这些点，请用所学知识求出y关于x的函数表达式.
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).
①求出w关于x的函数表达式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少.
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240元时的销售单价.
18．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（且为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）请你帮小张求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
19．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元／件，且年销售量y（万件）关于售价x（元／件）的函数解析式为：
，
（1）若企业销售该产品获得自睥利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价（元/件）的函数解析式；
（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大 最大年利润是多少
（3）若企业销售该产品的年利澜不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．
20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
21．清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
（2）已知芝麻青团每盒的售价不高于65元，W表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位；元），芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
22．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B．
（1）求该函数的表达式及顶点坐标；
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，请根据图象求出m的值；
（3）将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W．
①点Q在图象W上，连接QA，QB，求△ABQ面积的最大值；
②若直线y＝c与图象W只有一个公共点，结合函数图象，直接写出c的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】
10．【答案】6
11．【答案】
12．【答案】4
13．【答案】8
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题意得：两条小路的面积为：25m+12mm2=（37mm2）米2，
∴y=45×（37mm2）=1665m45m2；
（2）解：当m=2时，1665m45m2=1665×245×4=3150（元），
答：当m=2时，地砖的费用为3150元．
16．【答案】（1），
（2）解：将点代入抛物线L：，
得，，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，∴的中点，
①将、代入抛物线L：，
∴，
解得： ，
∴L的解析式为，
②
17．【答案】（1）解： 根据表中的数据在如图的坐标系中描点(x，y)，并用平滑的线连结这些点 如下：
，
如图可知y关于x成一次函数关系，设y=kx+b（k≠0），将点（20，30）与（40，10）分别代入得，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：y=-x+50；
（2）解：①由题意可得w=(x-18)(-x+50)=-x2+68x-900=-(x-34)2+256，
∵-1＜0，
∴当x=34时，w最大，
∴超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元/千克；
②将w=240代入w=-(x-34)2+256得-(x-34)2+256=240，
解得x1=38，x2=30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x=30，
∴ w=240元时的销售单价为30元/千克.
18．【答案】（1）解：∵p与x之间满足一次函数关系，
∴可设p＝kx+b（k≠0），
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴当x＝3时，y＝21；当x＝7时，y＝25，
∴，
解得，
∴p与x的函数关系式为：p＝x+18；
（2）解：当1≤x≤6时，w＝10[50-（x+18）]＝-10x+320，
当6＜x≤15时，w＝[50-（x+18）]（x+6）＝-x2+26x+192，
∴w与x的函数关系式为：；
（3）解：当1≤x≤6时，
∵-10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴即当x＝1时，w最大，最大利润为：-10+320＝310，
当6＜x≤15时，w＝-x2+26x+192＝-（x-13）2+361，
∴即当x＝13时，w最大，最大利润为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元．
19．【答案】（1）（2）当该产品的售价定为50元／件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．（3）要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．
20．【答案】（1）解：．
（2）解：设销售利润为W元，则
①当时，，
∴时，元．
②当时，，
∵x为整数，
∴或43时，W取最大值，．
∵，
∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．
（3）解：由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设芝麻青团的进价为每盒a元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒（a﹣10）元，
根据题意得：，
解得a＝40，
经检验，a＝40是原方程的根，且符合题意.
此时a﹣10＝40﹣10＝30，
答：芝麻青团的进价为每盒40元，肉松蛋黄青团的进价为每盒30元.
（2）解：设芝麻青团每盒售价x元，
根据题意得：
，
∵a=﹣2＜0，x≤65<70，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝65时，W有最大值，最大值为1750，
∴芝麻青团每盒售价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元．
22．【答案】（1）解：把A（-3，0）代入y＝ax2+2ax+3中，
得9a-6a+3＝0，
解得a＝-1，
∴抛物线的解析式为：y＝-x2-2x+3，
∵y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）解：当m+3＜-1，即m＜-4时，
∵m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，
∴-（m+3）2-2（m+3）+3＝2，
解得m＝-4+ （舍）或m＝-4- ，
当m＞-1时，
∵m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，
∴-m2-2m+3＝2，
解得m＝-1- （舍）或m＝-1+ ，
故m的值为m＝＝-4- 或m＝-1+ ；
（3）解：①令x＝0，得y＝-x2-2x+3＝3，
∴B（0，3），
设Q（t，-t2-2t+3）（-3≤t≤0），过Q作QM⊥y轴于点M，
则QM＝-t，OM＝-t2-2t+3，
∴△ABQ的面积S＝S梯形OAQB-S△OAB-S△BQM
＝
＝
＝ （-3≤t≤0），
∴△ABQ面积的最大值为 ；
②由函数图象可知，当c＝4或0≤c＜3时，直线y＝c与W只有一个交点，
∴c＝4或0≤c＜3．