22.2二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根
2．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
5．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
6．抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
7．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　）
A．-15 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5
8．如图二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象得出下列结论：①且；②；③关于x的方程的两根分别为和1；④若点均在二次函数图象上，则：⑤，其中正确的结论有(　　)个．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，抛物线 经过点 和 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若双曲线 经过点 ，则以 、 为根的一元二次方程是 ．其中正确结论的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知抛物线与直线有两个公共点，它们的横坐标分别为、，又有直线与轴的交点坐标为，则、、满足的关系式是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，抛物线的图象与轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是　 　．
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 …
y … 3 －2 －5 －6 －5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是　 　.
13．已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为　 　．
14．已知方程的两个根为1和-3，则抛物线的对称轴为直线　 　.
15．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是　 　．
16．关于 的方程 的解是 = ， = （ 、 、 为常数， 0），则方程 的解是　 　．
17．抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是　 　（填写序号）．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣3，2）、B（9，2）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝2＝0的根为x1＝﹣3，x2＝9；
②若点C（5，y1）、D（，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2﹣9a≥3b﹣bt；
④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥2﹣36a．
其中正确的结论是　 　.（填写序号）
三、解答题
19．已知抛物线，（1）若，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（1）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（2）若，且时，对应的时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.
20． 若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
21．如图，抛物线经过点，，，直线经过点，，部分图象如图所示，则：
（1）该抛物线的对称轴为直线　 　 ；
（2）关于的一元二次方程的解为　 　 ；
（3）关于的一元二次方程的解为　 　 ．
22．在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
（1）若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
（3）记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
23．已知抛物线的解析式：．
（1）若抛物线经过原点．
①　　　　；
②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为　　　　；
（2）在（1）的条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】，
12．【答案】x1=-4，x2=0
13．【答案】 ，
14．【答案】x=-1
15．【答案】﹣1＜x2＜0
16．【答案】
17．【答案】①②
18．【答案】①③④
19．【答案】（1）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x2+2x-1，
（1）方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1，x2．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（，0）.
解：当时，抛物线为，且与轴有公共点.
，
解得.
当时，由方程，
解得.
此时抛物线为与轴只有一个公共点
当时，时，；
时，.
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有，
即，
解得.
综上所述，的取值范围为或.
（2）解：当时，抛物线与轴有公共点.
证明：对于二次函数，
由已知时，；
时，，
又，
.
.
关于的一元二次方程的判别式0，
抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方.
又该抛物线的对称轴为直线
由，得，
又由已知当时，；时，，
在范围内，抛物线与轴有公共点.
20．【答案】（1）解：由可得，
对称轴为直线
（2）解：当时，
由对称轴直线可知，
与关于对称轴对称
∵二次函数与x轴只有一个交点
∴二次函数的解析式为或
21．【答案】（1）
（2），
（3），
22．【答案】（1）函数表达式为：，顶点坐标为
（2），
（3）
23．【答案】（1）①；②
（2）抛物线的解析式为
（3）
24．【答案】（1）解：∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）解：∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．