2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第3章 不等式（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第3章 不等式
一、选择题
1．已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.3
2．如果,那么下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
3．已知正实数a,b满足,则的最小值为( )
A.9 B.8 C.3 D.
4．下列结论中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5．如果，，那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
6．一元二次不等式的解集为( )
A. B.或
C. D.或
7．已知正数x,y满足,则的最小值为( )
A. B.2 C. D.4
8．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设一个三角形的三边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为12,,则此三角形面积的最大值为( )
A.4 B. C. D.
二、多项选择题
9．已知不等式的解集为,则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10．若正实数x,y满足,则下列说法正确的是( )
A.有最大值为 B.有最小值为
C.有最小值为 D.有最大值为
11．设正实数a，b满足，则( )
A.有最大值
B.有最大值
C.有最大值
D.有最小值
三、填空题
12．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金,售货员先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际得到的黄金_______（填>、<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂
13．已知正实数a,b满足,则的最小值是______________.
14．已知,则的最小值为________.
四、解答题
15．利用基本不等式求下列式子的最值：
(1)若,求的最小值,并求此时x的值;
(2)已知x,,且,求xy的最大值;
(3)若,求的最大值.
16．比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)与;
(2)与.
17．解下列问题：
(1)若不等式的解集为,求a,b的值;
(2)若,,,求的最小值;
18．已知,.
（1）求的最小值;
（2）若,求的最小值.
19．已知
(1)证明：的最大值与的最小值相等.
(2)若恒成立,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得，，即，
当且仅当，即，或，时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
2．答案：B
解析：对于A：由得,错误;
对于B：由,则有,即,正确;
对于C：由得,则根据不等式的性质有,即,
由可得,错误;
对于D：由得,则,即,错误.
故选：B.
3．答案：C
解析：由条件知,
,
当且仅当时取等号.
故选：C.
4．答案：C
解析：当,,时满足,可得,A选项错误;
当,,可得,B选项错误;
若,由不等式乘法性质可得,C选项正确;
当,,可得,D选项错误.
故选：C.
5．答案：D
解析：由选项可知，仅需要比较a，，三个数的大小，
显然，，，，所以最大，由可得，，
所以，即，可得.故选：D.
6．答案：A
解析：不等式化为,即,解得,
所以原不等式的解集为.
故选：A.
7．答案：B
解析：因为x,y都是正数,且满足,
则,则,
当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为2.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题意得,,
则,
当且仅当时,等号成立,此时三角形的面积有最大值,且最大值为.
故选：C.
9．答案：AC
解析：由于不等式的解集为,
所以和是方程的两个实数根,
故且,解得,,
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：对于A：因为,则,当且仅当,即,时取等号,故A正确,
对于B,,当且仅当,即,时取等号,故B正确,
对于C：因为,则,当且仅当,即,时取等号,故C正确,
对于D：因为,
当且仅当,即,时取等号,这与x,y均为正实数矛盾,故D错误,
故选：ABC.
11．答案：BD
解析：正实数a，b满足，即有，
可得，即有，A错，B正确，
由，C错，
由，D正确，
综上可得BD均正确.
12．答案：
解析：由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a,右臂长为b,则,
再设先称得黄金为,后称得黄金为,则,,,,
,当且仅当,即时等号成立,但,等号不成立,即.因此,顾客购得的黄金大于.
故答案为：.
13．答案：9
解析：,,,
,,
设,,可得,
则
,
当时,当“=”成立,即的最小值是9,
故答案为：9.
14．答案：
解析：,当且仅当的时候取“”,
又,当且仅当的时候取“.
综上,当的时候,不等式取“”条件成立,此时最小值为12.
故答案为:12.
15．答案：(1)4,;
(2)
(3).
解析：(1),当且仅当时取等,
故最小值为4,此时;
(2),当且仅当,时取等,
故最大值为.
(3),当且仅当时取等,
故所求最大值为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1),
.
(2),
,
,,,,
则,
.
17．答案：(1)
(2)9
解析：(1)不等式的解集为,
和3是方程的两个实根,
解得;
(2) 又,,
,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为9.
18．答案：（1）4
（2）8
解析：（1）因为,,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为4.
（2）因为,
所以
.
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为8.
19．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)由,,得,,则,
即,当且仅当时取等号,因此的最大值为;
,
当且仅当,即时取等号,因此的最小值为,
所以的最大值与的最小值相等.
(2)由(1)知,,,,
则
,当且仅当,即时取等号,
因此的最小值为1,依题意,,解得,
所以m的取值范围为.
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