2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第4章 指数与对数（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第4章 指数与对数
一、选择题
1．若,则的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
2．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益.福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知3H的质量M随时间t（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）.已知经过125年3H的质量衰减为最初的，则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为( )
A.325年 B.375年 C.600年 D.1000年
3．已知，，，则( )
A. B. C. D.
4．从解决一元二次方程到解决一元三次方程,人类历经数千年,直到公元16世纪,意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现,人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式.其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法,再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程.求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式,作变换:,转化为关于,的二次方程就可以得到,的值,进而求出未知数的值.利用此方法求解方程的解为( )
A. B. C. D.
5．( )
A. B. C. D.2
6．若,,则的值是( )
A.0.9 B.1.08 C.2 D.4
7．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水,循环使用.净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为( )（参考数据）
A.10 B.12 C.14 D.16
8．已知,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
10．已知,则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
11．设，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．________.
13．我们知道对内任意的m,n,都有,且在上单调递增.设函数满足①对定义域内任意的m,n,都有②在上单调递减,写出满足以上两个条件的一个函数________.
14．化简:____________.
四、解答题
15．计算：
（1）______；
（2）______.
16．给出问题：已知，求的值.有同学给出如下解答：
由，可得，
所以，即，
解得或，
所以或.
由于或均满足，故的值为1或4.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，试举例说明，并予以更正.
17．计算：
（1）；
（2）.
18．已知实数a，b满足，.
（1）用a表示；
（2）计算的值.
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,若,
则有或,
若,则,此时两个集合为和,符合题意;
若,则,此时两个集合为和,符合题意;
综合可得：.
故选：D.
2．答案：B
解析：由题意得，解得，
令，则，解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，，所以，，，，故.故选：A.
4．答案：B
解析：因为,
令,则,
即
依题意,,
即,,
所以,
整理得,即
解得或
当时,,即,;
当时,,即,,
所以.
故选:B.
5．答案：C
解析：.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为,,所以.
故选:B.
7．答案：C
解析：设过滤的次数为n,原来水中杂质为1,
则,即,
所以,
所以,
所以,
因为,
所以n的最小值为14,则至少要过滤14次.
故选:C.
8．答案：C
解析：与比大小,
先比较5与的大小,先比较与的大小,,
与比大小,先比较8与的大小,先比较与的大小,,
,,,即,
9．答案：AC
解析：A：，故A正确；
B：0的负指数幂没有意义，故B错误；
C：，，故C正确；
D：和的值不相等.故D错误.
故选：AC.
10．答案：BD
解析：由,得,,且,
即,,,而此时不总是成立,则C错误;
由于,即,,结合以上解题思路可知A错误;
由于,即为,故B正确;
又,D正确,
故选：BD.
11．答案：AC
解析：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
12．答案：/0.5
解析：因为，
，
所以.
故答案为：.
13．答案：或（或者换成别的大于1的底数或者函数乘以一个正数）（答案不唯一）
解析：在上单调递减,
假设当定义域为,,,,
根据,结合题干关系,可设函数为符合要求,
或者对于,也满足,在上单调递减.
故答案为:或（或者换成别的大于1的底数或者函数乘以一个正数）（答案不唯一）
14．答案：
解析：;
15．答案：13
解析：（1）原式.
（2）原式.
16．答案：不正确
解析：该同学的解答过程不正确.
例如时，，且满足，
但，此时无意义，即已知等式不成立.
该同学解答错误在于由得到时，忽视了，且，这些前提条件，
尽管该同学的解答注意到，但显然这两者不等价，扩大了或，的情形而导致出错.
正确解答如下：由已知条件得
即解得，故.
17．答案：（1）2
（2）11
解析：（1）原式
.
（2）原式.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，
所以.
（2）由题得，
所以
.
19．答案：（1）
（2）
（3）0
解析：（1）原式
.
（2）原式.
（3）原式
.
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