2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第5章 函数概念与性质（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第5章 函数概念与性质
一、选择题
1．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有( )
A. B.
C. D.
2．下列从集合A到集合B的对应关系,其中y是x的函数的是( )
A.,对应关系
B.,,对应关系
C.,对应关系
D.,对应关系
3．已知是定义在R上的减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知,若正实数a、b满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
5．已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．函数,则( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
8．已知定义在R上的函数满足，，当时，，则( )
A. B. C.2 D.
二、多项选择题
9．存在定义在R上的函数,满足对任意,使得下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10．设函数的定义域关于原点对称,且不恒为0,下列结论正确的是( )
A.若具有奇偶性,则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数,其函数值为0
B.若不具有奇偶性,则满足奇函数与偶函数不存在
C.若为奇函数,则满足的奇函数与偶函数存在无数对
D.若为偶函数,则满足0的奇函数与偶函数存在无数对
11．下列各图中，可能是函数图象的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．若是偶函数,则________.
13．设a为实数,函数在R上单调递增,则a的取值范围是_________．
14．已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则的解集为________________.
四、解答题
15．已知函数
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)解方程.
16．某厂家拟进行某产品的促销活动,根据市场情况,该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满足关系式（k为常数）,如果不搞促销活动,则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入5万元,厂家将每件产品的销售价定为元,设该产品的月利润为y万元.（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用）
(1)将y表示为x的函数;
(2)月促销费用为多少万元时,该产品的月利润最大？最大利润为多少？
17．已知函数为偶函数.
(1)证明：函数在上单调递增;
(2)若不等式对任意的恒成立,求实数m的取值范围.
18．已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.
(1)证明函数在上单调递增；
(2)解不等式；
(3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围.
19．已知函数的图像过点．
(1)求实数m的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明．
参考答案
1．答案：A
解析：为奇函数，
，
又
，，，
又，且函数在区间上是增函数，
，
，，
故选：A.
2．答案：C
解析：A：因为集合A是整数集合,其中奇数除以2的结果不是整数,
所以y不是x的函数,因此本选项不符合题意;
B：显然,此时,有两个不同的实数与之对应,不符合函数的定义,
因此本选项不符合题意;
C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数,符合函数的定义,
所以本选项符合题意;
D：因为,但是没有意义,因此不符合题意,所以本选项不符合题意,
故选：C.
3．答案：D
解析：要使函数在R上为减函数，
需满足，解得.
故选：D.
4．答案：B
解析：函数的定义域为R,,
函数是奇函数,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,因此在R上单调递增,
由,得,则,即,
而,因此,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值是.
故选:B
5．答案：D
解析：取且，则，
，
所以在R上单调递增.
，
所以当时，有解，即有解.
令，则，设，则在上单调递减，当，
即时，，所以故选D项.
6．答案：D
解析：方法一：由题意，知在，单调递减，且.当时，令，得或，又，所以；当时，令，得或，又，所以；当时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为.故选D.
方法二：当时，，符合题意，排除B；当时，，不符合题意，排除A，C.故选D.
7．答案：A
解析：设,得,则.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，
因为，所以函数是奇函数，
因为，
所以
.
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A,令,则,则,故,唯一确定,故A成立;
对于B,令,则,令,则,与函数定义不符,故B不成立;
对于C,令,则,令,则,与函数定义不符,故C不成立;
对于D：,,唯一确定,符合函数定义,故D成立.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A,,则,
当为奇函数时,则,即;
当为偶函数时,则,即,
即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数,其函数值为0,故A正确;
对于B,当,,时,不具有奇偶性,
满足的奇函数与偶函数存在,故B错误;
对于C,为奇函数时,令奇函数,,偶函数,,则,
,故存在无数对奇函数与偶函数,满足.故C正确;
对于D,为偶函数,令奇函数,,偶函数,,则,
,故存在无数对奇函数与偶函数,满足.故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：对于B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，故B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由偶函数的定义可得,即,
即,
,
故答案为:
13．答案：
解析：由函数在R上单调递增,得,解得,
所以a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：当时,得,
又函数是定义在上的偶函数,
故当时,由可得,
综上的解集为,
故答案为：
15．答案：(1)偶函数,详细见解析
(2)
解析：(1)因为且定义域为R,所以是偶函数.
(2)当时,,
去绝对值符号可得,化简可得,
解之可得或(舍),
当时,,
去绝对值符号可得,化简可得（舍）,
综上,的解为.
16．答案：(1),
(2)月促销费用为2万元时,该产品的月利润最大,最大为6万元
解析：(1)由题意知当时,,代入
则,解得,.
利润,
又因为,
所以,.
(2)由(1)知
因为时,,
因为,当且仅当时等号成立
所以,
故月促销费用为2万元时,该产品的月利润最大,最大为6万元
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：函数为偶函数,
.
,
,
设,则,
,
函数在上单调递增.
(2)函数为偶函数,且在上单调递增,
函数在上单调递减.
不等式对任意的恒成立,
对恒成立,
当时,对恒成立,即;
当时,即对恒成立,则,
或,
即实数m的取值范围为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)不等式的解集为；
(3)实数t的取值范围
解析：（1），且，
则，
因为，，
由已知可得，，
所以，所以，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，又在上为增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
（3）由在上为增函数，所以，，
所以对所有，恒成立，
等价于对任意恒成立，
设，对，恒成立，
所以，解得，
所以或或，
所以实数t的取值范围.
19．答案：(1)2
(2)奇函数,证明见解析
解析：(1)函数的图像过点,
,;
(2)证明：函数的定义域为,
又,
函数是奇函数．
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