2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第6章 幂函数、指数函数和对数函数
一、选择题
1．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
2．函数的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
3．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为( )
A. B. C. D.2
4．若集合，，则( )
A. B. C. D.
5．已知函数是幂函数，则函数，且的图象所过定点的坐标是( )
A. B. C. D.
6．函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
7．已知，，，则p，q，r的大小关系为( )
A. B. C. D.
8．若在上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若，则( )
A. B. C. D.
10．对于任意两个正数u，v，记曲线与直线，，x轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现.下列关于的说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.的定义域为 B.在区间上单调递减
C.的值域为 D.的图象关于点对称
三、填空题
12．若函数在区间上单调递增,则实数a的最小值为________.
13．已知幂函数在上单调递减,则t的值为______.
14．若幂函数的图像过点,则_______________.
四、解答题
15．对于函数，若其定义域内存在实数x满足，则称为“伪奇函数”.
（1）若函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由.
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围.
（3）是否存在实数m，使得是定义在R上的“伪奇函数”？若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
16．已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
17．已知函数（且）.
（1）若函数在上恒有意义，求实数k的取值范围.
（2）是否存在实数k，使得函数在上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
18．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的解析式;
（2）求当时,函数的值域.
19．已知幂函数在上是增函数
(1)求的解析式;
(2)若,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由得或,
易知函数在上递减,在上递增,
又是减函数,所以原函数的增区间是.
故选:A.
2．答案：C
解析：因为,
当时,,由于,所以在上单调递增,排除BD;
当时,,由于,所以在上单调递减,排除A;
而C选项满足上述性质,故C正确.
故选：C.
3．答案：B
解析：由题意得，作出函数的图象，如图所示.令，解得或，则当，时，取得最大值，此时.
4．答案：C
解析：因为，，所以.
5．答案：A
解析：因为函数是幂函数，所以，所以，所以.令，得，此时，所以函数的图象过定点.
6．答案：B
解析：因为，所以，所以，且.令，且，则，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C.令，因为函数在上单调递增且，所以函数在上单调递增，排除D.故选B.
7．答案：D
解析：因为，，，所以，，，，由基本不等式可得，则，因为，所以，则，所以，所以，故选D.
8．答案：D
解析：由在上恒成立，得在上恒成立.由解题思路可知.令，，作出，的大致图象如图所示.令，得，所以，即，所以要使在内恒成立，实数a的取值范围是.
9．答案：BC
解析：不等式，可化为.构造函数，知函数在上单调递减.由可知，.因为，所以，.
10．答案：ABC
解析：由题意得，所以，当时，；当时，；当时，；当或时，也成立.综上，.
对于A，，，所以，故A正确；对于B，，且，所以，故B正确；对于C，如图，因为，所以，即，故C正确；
对于D，取，，则，故D错误.
11．答案：BC
解析：对于A，由得，所以函数的定义域为，所以A错误；对于B，，令，可得该函数在上单调递减，又函数在定义域内单调递增，所以复合函数在上单调递减，所以B正确；对于C，由选项B知函数在上单调递减，所以，所以，所以函数的值域为，所以C正确；对于D，因为函数的定义域为，所以的图象不可能关于点对称，所以D错误.
12．答案：
解析：函数在R上单调递增;
函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
要使函数在区间上单调递增,
根据复合函数单调性同增异减可知,
所以a的最小值为.
故答案为:
13．答案：5
解析：由题可知,,解得或,
当时,幂函数在上单调递增,不合题意,
当时,幂函数在上单调递减,符合题意,
故答案为:5.
14．答案：-1
解析：设,将代入,,解得：,
故,.
故答案为：-1.
15．答案：（1）不是“伪奇函数”，理由见解析
（2）
（3）实数m的取值范围为
解析：（1）因为，所以，
则，
因为恒成立，故不存在x使得，即不存在x使得，
所以不是“伪奇函数”.
（2）因为是幂函数，则，所以，故，
所以，则，
所以在上有解，
则在上有解.
因为，所以.
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值2，
又当和时，，所以，
故当时，，
所以实数m的取值范围为.
（3）由定义可得，有解，
则关于x的方程有解，
所以关于x的方程有解，
令，则，则关于t的方程在上有解.
令，其图象的对称轴为直线.
①当时，有，得；
②当时，有即
解得.
综上，实数m的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）令，因为，所以.
令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，为，当时，取得最大值，为5.
故当时，函数的值域为.
（2）不等式，即，
解得或.
当时，，解得；
当时，，解得.
故不等式的解集为或.
（3）由于存在，使得不等式成立，则存在，使得成立，
所以存在，使得成立.
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故m的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）存在满足题意的实数k，（或）
解析：（1）由题意得，在上恒成立，即在上恒成立.
令，则在上恒成立.
令，，则在上单调递减，
故，则.
故k的取值范围为.
（2）要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得.
①当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为增函数，故且，即，
此时的最大值为，即，此时，满足题意.
②当时，要使函数在上为增函数，
则函数在上恒正且为减函数，故且，即，
此时的最大值为，即，满足题意.
综上，存在满足题意的实数k，（或）.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由函数是R上的奇函数,则有,解得,即,
,,
即,,解得,经验证得,时,是奇函数,
所以.
（2）由（1）知,,
当时,,因此当时,,当时,,
所以所求值域为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是幂函数,
所以,解得或,
又在上是增函数,故,
,则.
(2)由(1)知在上是增函数,
又,的定义域为,
,解得,
的取值范围是.
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