2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第7章 三角函数（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第7章 三角函数
一、选择题
1．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A. B. C. D.
2．原始的蚊香出现在宋代，根据宋代的《格物粗谈》记载：“端午时，收贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为( )
A. B. C. D.
3．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆术”：当n很大时，圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，进而求得精确度较高的圆周率.他在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想，当取3.1416时，可得的近似值为( )
A.0.00873 B.0.01745 C.0.02618 D.0.03491
4．下列区间中，函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
5．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
6．记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则( )
A.1 B. C. D.3
7．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则( )
A. B. C. D.
8．函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则( )
A.第35天时情绪曲线E处于最高点
B.第33天到第42天时，智力曲线I与情绪曲线E不相交
C.第46天到第50天时，体力曲线P处于上升期
D.体力曲线P关于点对称
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则( )
A.点P再次进入水中时用时30秒
B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D.点P第二次到达距水面米时用时25秒
11．已知函数（，），直线为函数图象的一条对称轴，且，若在上单调，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．函数在上的最大值是__________.
13．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为___________.
14．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则__________.
四、解答题
15．对于函数，，，及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有“m关联”性质.
（1）若与具有“m关联”性质，求实数m的取值范围.
（2）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有.
求证：与不具有“4关联”性质.
16．已知，，求在上所有根的和.
17．如图，一个大风车旋转的半径为，旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点P从开始计时，按逆时针方向旋转.
（1）试写出点P距离地面的高度关于时刻的函数关系式；
（2）在点P旋转一周的时间内，有多长时间点P距离地面不小于？
18．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度随着时间t（，单位：h）而周期性变化.每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表.
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
（1）试在图中描出所给点；
（2）观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定在一天内的至之间，当浪高不低于时才进行训练，试安排恰当的训练时间.
19．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式确定，其中，，.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，且最高点与最低点间的距离为.
（1）求小球相对于平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为是第三象限角，所以，，，所以，A成立；，B不成立；，C成立；，D成立.故选B.
2．答案：B
解析：第1次画弧：以点B为圆心，1为半径，旋转，画的圆弧长为；第2次画弧：以点C为圆心，2为半径，旋转，画的圆弧长为；第3次画弧：以点A为圆心，3为半径，旋转，画的圆弧长为；第4次画弧：以点B为圆心，4为半径，旋转，画的圆弧长为；第5次画弧：以点C为圆心，5为半径，旋转，画的圆弧长为；第6次画弧：以点A为圆心，6为半径，旋转，画的圆弧长为.累计画的弧的总长度为.
3．答案：D
解析：将一个单位圆等分成90个扇形，则每个扇形的圆心角均为.由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长为.因为这90个圆心角对应的弦长之和近似等于单位圆的周长，所以，所以.
4．答案：A
解析：方法一：令，，得，.取，则.因为，所以区间是函数的单调递增区间.
方法二：当时，，所以在上单调递增，故A正确；当时，，所以在上不单调，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故C错误；当时，，所以在上不单调，故D错误.
5．答案：A
解析：方法一：由，得，则，故充分性成立；由，得，而或，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.
方法二：由，得，则，故充分性成立；又，，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.
6．答案：A
解析：因为，所以，解得.因为的图象关于点中心对称，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故选A.
7．答案：D
解析：由题意得，解得.由题意知当时，取得最小值，所以，得，于是，，故选D.
8．答案：A
解析：方法一：取，则；取，则.结合选项知选A.
方法二：令，则，所以函数是奇函数，排除B，D；取，则，排除C.故选A.
9．答案：AC
解析：设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线对应的函数分别为，，，所以，，.A项，第35天时，，故曲线E处于最高点，A正确；B项，设，因为，，故存在，使得，故此时智力曲线I与情绪曲线E相交，B错误；C项，因为，所以，因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，故曲线P处于上升期，C正确；D项，因为，所以体力曲线P不关于点对称，D错误.
10．答案：BCD
解析：由题意，角速度（弧度/秒），由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成的角为，点P再次进入水中用时为（秒），故A错误；当水轮转动50秒时，半径转动了（弧度），而，所以点P正好处于最低点，故B正确；以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度（，）（H的单位：米.在水面下，则H为负数）.
由得因为角速度弧度/秒，时，，所以，所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，此时点P距离水面2米，故C正确；将代入中，得或，所以或.所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确.
11．答案：AD
解析：直线为对称轴，，或，，联立解得或，，，又在上单调，所以所以，所以或.
12．答案：
解析：作出函数，，的图象，如图所示，则函数在上取最大值时，，即，.
13．答案：2
解析：由题图可知，（T为的最小正周期），得，所以，所以.由题图得，得，所以，所以，，所以，即，可得或，所以或.当时，，，不符合题意；当时，，，符合题意.所以满足题意的最小正整数x为2.
14．答案：
解析：对比正弦函数的图象知，点为“五点（画图）法”中的第五个点，所以①.由题知，两式相减，得，即，解得.代入①，得，所以.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知，，
故，则m的取值范围为.
（2）因为在上，当且仅当时，取得最大值1，且为定义在R上的奇函数，
故在上当且仅当时，取得最小值.
由对任意，有，可知的图象关于点对称，
又，即，
故2a为函数的周期，
故.
，，
当时，，，
时，，，
若，则，，此时有，为最大值.
当时，，，
时，，，
若，则，，此时有，为最大值.
由于，，故，不能同时取得最大值，
故，
即不存在，，使得，
所以与不具有“4关联”性质.
16．答案：64
解析：因为，所以的图象关于点中心对称，
而函数的图象也关于该点中心对称，
在同一平面直角坐标系内作出，的图象，如图所示.
由数形结合思想可知，这两个函数图像在上有8个交点，即共有四对关于中心对称的点，
所以方程在上所有根的和为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图，以旋转中心O为坐标原点，过点O且平行于地面的直线为x轴，过点O且垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
以x轴正半轴为始边，为终边的角为，点P在时刻t所转过的圆心角为，
那么以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为，
则点P的纵坐标为，
所以.
（2）令，
即，所以，，
解得，，
所以在点P旋转一周的时间内，P距离地面不小于的时间为.
18．答案：（1）图见解析
（2）
（3）应在到之间训练
解析：（1）描点如下.
（2）由所描点可知，应选择.
令，，，
由题意知，最大值为1.4，最小值为0.6，周期，
则，，，
所以，
将代入，可得，
所以，则，.
又，所以.
所以该模型的解析式为.
（3）令，则，
由正弦函数图象及其性质可得，，
所以，.
当时，；当时，；
当时，.
又，所以.
综上，应在到之间训练.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得.
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以最小正周期为，
即，所以，
所以.
（2）由（1）知，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都到达一次最高点.
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以.
因为，所以，
所以的取值范围为.
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