2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第8章 函数应用（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试 第8章 函数应用
一、选择题
1．已知函数有两个零点，分别为a和b，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．使有唯一的解的k( )
A.不存在 B.有1个 C.有2个 D.有无穷多个
3．某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物的总金额不超过500元，不享受任何折扣；若顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按表中折扣分别累计计算：
可享受折扣优惠的金额 折扣率
不超过400元的部分
超过400元的部分
若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，则此人购物实际所付金额为( )
A.940元 B.1000元 C.1140元 D.1200元
4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉率f（单位：次）与体重W（单位：kg）的次方成反比.若A，B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为，脉率为210次，B的脉率是70次，则B的体重为( )
A. B. C. D.
5．一件工艺品的进价为100元，标价为135元，每天可售出100件.根据销售统计，可知若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( )
A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
6．已知常温环境下的温度冷却模型：（t为冷却时间，单位为，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度）.若一杯水的初始温度，环境温度，常数，则这杯水的温度降为所需的时间为（参考数据：，）( )
A. B. C. D.
7．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于或等于.经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度是，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）( )
A.12.8分钟 B.14.4分钟 C.16分钟 D.17.6分钟
8．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，若生物体内碳14原有初始含量为Q，则该生物体内碳14所剩含量y与死亡年数x的函数关系式为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使得在和上均有零点，则称为的一个“折点”.下列函数中存在“折点”的是( )
A. B.
C. D.
10．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
11．某食品的保鲜时间t（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在时的保鲜时间是.已知甲在某天上午购买了该食品，并将其遗忘在室外，且该天的室外温度的变化如图所示，则( )
A.该食品在时的保鲜时间是
B.当时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而减少
C.到了该天，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D.到了该天，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
三、填空题
12．设，对任意实数x，用表示，中的较小者.若至少有3个零点，则实数a的取值范围为___________.
13．已知，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点.
以上正确结论的序号是___________.
14．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是___________.
四、解答题
15．某小微企业去年某产品的年销售量为1万件，每件售价为10元，成本为8元.今年计划投入适当的广告费进行宣传，预计年销售量P（万件）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量为3.4万件.现每件产品的售价为“原售价”与“年平均每件产品所占广告费的”之和.
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则m的最大值是多少？
（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
16．2024年某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研了解到，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产x百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年生产的设备当年能全部销售完.
（1）求2024年该企业年利润Z（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式.
（2）当2024年的年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额-成本）
17．已知函数和的大致图象如图所示，设这两个函数的图象相交于点和，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应哪一个函数；
（2）若，，且，指出a，b的值，并说明理由.
18．已知函数，其中.
（1）当时，求的零点.
（2）当为偶函数时，
①求实数a的值；
②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.
19．已知函数.
（1）证明：当时，在上有零点.
（2）当时，若关于x的方程在上没有实数解，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为函数的两个零点分别为a，b，所以，所以.不妨设，则，即，所以，其中，所以.因为函数在上单调递减，当时，，所以，故的取值范围是.
2．答案：B
解析：令，则.设，则，所以为偶函数，则函数的图象关于y轴对称.由偶函数图象的对称性，知当的零点不为时，若有，必有，不满足的解的唯一性，所以只能是，即，解得.当时，.当时，；当时，.又为偶函数，所以时，有唯一的解.故满足题意，k只有一个.
3．答案：A
解析：设此人购物的总金额为x元，获得的折扣金为y元，则当时，.因为，所以，所以，解得，故此人购物实际所付金额为（元）.
4．答案：D
解析：根据题意设.当时，，则，所以当时，，所以.
5．答案：B
解析：设每天的销售量为m件，每件工艺品的售价为x元，则m关于x的函数为一次函数，设.由题意可得解得则.设每天获得的利润为y元，则，可知当时，每天获得的利润最大，此时每件需降价（元）.
6．答案：C
解析：由题意得.
7．答案：C
解析：由题意可知，当时，，得，所以.由，可得，解得（分钟），因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为16分钟.
8．答案：D
解析：设死亡后生物体内碳14含量的年衰减率为p，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即.因为生物体内碳14原有初始含量为Q，所以生物体内碳14所剩含量y与死亡年数x的函数关系式为，即.
9．答案：BC
解析：
A × 因为，所以没有零点，即没有“折点”.
B √ 当时，单调递增，又，，所以在上有零点.又是偶函数，所以在上有零点，所以存在“折点”.
C √ 令，得或，所以在上有零点，在上有零点，即存在“折点”.
D × 令，解得，所以只有一个零点，即没有“折点”.
10．答案：ACD
解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确.
11．答案：AD
解析：由题设，可得，解得，所以所以当时，，A正确.当时，保鲜时间恒为，当时，保鲜时间t随x的增大而减少，B错误.该天之间，温度超过，其保鲜时间小于，所以到甲所购买的食品不在保鲜时间内，C错误，D正确.
12．答案：
解析：设，，由可得.要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.
①当时，，作出函数，的图象如图1所示，此时函数只有两个零点，不符合题意；
②当时，设函数的两个零点分别为，（），
要使得函数至少有3个零点，则，
所以无解；
③当时，，作出函数，的图象如图2所示，
由图可知，函数的零点个数为3，符合题意；
④当时，设函数的两个零点分别为，（），
要使得函数至少有3个零点，则，
可得解得，此时.
综上所述，实数a的取值范围是.
13．答案：①②④
解析：作出函数和的大致图象如图所示.
对于①，当时，直线与的图象有两个交点，即函数有两个零点，所以①正确；
对于②，由图可知，，使得直线与的图象相切，即当时，函数有一个零点，所以②正确；
对于③，由图可知，当时，直线与的图象不可能有三个交点，即函数不可能有三个零点，所以③不正确；
对于④，由图可知，，使得直线与的图象相切，所以当时，直线与的图象有三个交点，即函数有三个零点，所以④正确.
14．答案：
解析：函数在区间有且仅有3个零点，即在区间有且仅有3个根，因为，，所以，则由余弦函数的图象可知，，解得，即的取值范围是.
15．答案：（1）4
（2）2万元
解析：（1）由题意得，解得，所以.
当时，，此时每件产品的售价为元，
设年利润为W万元，则，
令，得，即m的最大值为4.
（2）当时，每件产品的售价为元，
设年利润为W万元，则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润.
16．答案：（1）
（2）当2024年的年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元
解析：（1）当时，；
当时，.
所以
（2）若，则，
所以当时，；
若，则，
当且仅当，即时，.
因为，所以当2024年的年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.
17．答案：（1）对应函数，对应函数
（2），；理由见解析
解析：（1）由指数函数与幂函数的增长速度，知对应函数，对应函数.
（2）依题意知，是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.
当时，，即；
当时，；
当时，.
因为，，，，所以，即.
因为，，，
，，，
，，，
所以，即.
18．答案：（1）
（2）①
②
解析：（1）当时，.
因为函数在R上是增函数，且，函数为上的增函数，
所以函数在R上是增函数.
又函数在R上是增函数，
所以函数在R上是增函数.
因为，所以函数的零点为.
（2）当为偶函数时，.
①，
因为，即，
所以对恒成立，则，解得.
②因为函数与的图象有且只有一个公共点，
所以只有一个实数解，即只有一个实数解，
所以只有一个实数解.
令，则关于t的方程只有一个正数解.
（i）当时，，不符合题意；
（ii）当时，，设方程的两根为，，
则，所以方程有一正根一负根，负根舍去，符合题意；
（iii）当时，因为当时，，
所以要使方程只有一个正数解，
只需解得.
综上，实数m的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）当时，.
因为，，所以，
因此在上有零点.
（2）当时，.
因为，均在上单调递增，所以在上单调递增.
又，，故在上的值域为.
因为关于x的方程在上没有实数解，
所以或，即或，
所以实数m的取值范围为.
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