《三角函数》经典专题训练（含答案）2024-2025学年 高中数学 高考专区 真题分类汇编

高中数学《三角函数》经典专题训练
（含解析答案）
评卷人 得　分
一．单选题（每题3分，共60分）
1．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（　　）
A．2，-
B．2，-
C．4，-
D．4，
2．下列说法正确的个数是（　　）
①小于90°的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；
④始边与终边重合的角为0°．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若0＜y＜x＜，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数y=ωcosx的值域是（　　）
A．[-2，2] B．[-1，1] C．[-，] D．[-，]
5．在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（　　）
A．f（x）既是偶函数又是周期函数
B．f（x）最大值是1
C．f（x）的图象关于点（，0）对称
D．f（x）的图象关于直线x=π对称
7．sin55°sin65°-cos55°cos65°值为（　　）
A．
B．
C．-
D．-
8．若角α终边上一点的坐标为（1，-1），则角α为（　　）
A．2kπ+
B．2kπ-
C．kπ+
D．kπ-，其中k∈Z
9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．已知α是第二象限的角，那么是第几象限的角（　　）
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角
C．第一、三象限角 D．第三、四象限角
11．函数y=cos（2x-），在区间[-，π]上的简图是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知α为锐角，sin（α+）=，则sinα的值是（　　）
A．
B．
C．-
D．
13．已知cos2α+sinα（2sinα-1）=，α∈（，π），则tan（）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
14．已知m＞0，且mcosα-sinα=sin（α+φ），则tanφ=（　　）
A．-2 B．-
C．
D．2
15．已知cosα+sinα=，则cos（-2α）的值等于（　　）
A．-
B．-
C．
D．
16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
17．若，并且α是第二象限角，那么sinα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
18．若α是锐角，且cos（α+）=，则sinα的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
19．若cosα=-，α是第三象限角，则=（　　）
A．2 B．
C．-2 D．-
20．在△ABC中，若3cos（A-B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（　　）
A．-
B．-
C．-
D．-2
评卷人 得　分
二．填空题（每题3分，共15分）
21．把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是______．
22．已知π＜α+β＜π，-π＜α-β＜-，则2α的取值范围是______．
23．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=______．
24．已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，则sinα+cosβ=______．
25．sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于______．
评卷人 得　分
三．简答题（每题5分，共25分）
26．函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，满足f（0）=2，f（）=+，
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若α，β∈（0，π），f（α）=f（β），且α≠β，求tan（α+β）的值．
27．已知向量=（-2，sinθ）与=（cosθ，1）互相垂直，其中θ∈（，π）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=，＜φ＜π，求cosφ的值．
28．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若不等式|f（x）-m|≤3对一切x∈[-，]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．
29．已知f（x）=coscos-sinsin．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈，求函数f（x）的零点．
30．已知函数（a为常数，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在上的最大值与最小值之和为3，求常数a的值．
参考答案
评卷人 得　分
一．单选题（共__小题）
1．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（　　）
A．2，-
B．2，-
C．4，-
D．4，
答案：A
解析：
解：由图可知，，
∴T=π，
则，
∴ω=2．
又据五点法可得=，解得：φ=-．
故选：A．
2．下列说法正确的个数是（　　）
①小于90°的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；
④始边与终边重合的角为0°．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：A
解析：
解：①-30°是小于90°的角，但它不是锐角，故①错误；
②390°是第一象限的角，故②错误；
③第二象限的角必大于第一象限的角，错误，例如-225°为第二象限的角，30°为第一象限的角，-225°＜30°；
④始边与终边重合的角为k 360°，错误；
故选：A．
3．若0＜y＜x＜，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：
解：∵tan2x=3tan（x-y），
∴tan[（x+y）+（x-y）]=3tan（x-y），
由两角和的正切公式可得=3tan（x-y），
变形可得tan（x+y）+tan（x-y）=3tan（x-y）-3tan2（x-y）tan（x+y），
即[1+3tan2（x-y）]tan（x+y）=2tan（x-y），
∴tan（x+y）==，
∵0＜y＜x＜，
∴0＜x-y＜，
∴tan（x-y）＞0，
∴由基本不等式可得tan（x+y）=≤=
当且仅当tan（x-y）=时取等号，
结合0＜x+y＜π可得x+y≤，或＜x+y＜π，
四个选项只有A符合，
故选：A
4．已知函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数y=ωcosx的值域是（　　）
A．[-2，2] B．[-1，1] C．[-，] D．[-，]
答案：D
解析：
解：∵函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，
∴T==2π，
∴ω=．
∴函数y=ωcosx=cosx∈[-，]，
∴函数y=cosx的值域是[-，]，
故选：D．
5．在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
答案：B
解析：
解：因为sin2==，即，由余弦定理可得，
可得a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形．
故选B．
6．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（　　）
A．f（x）既是偶函数又是周期函数
B．f（x）最大值是1
C．f（x）的图象关于点（，0）对称
D．f（x）的图象关于直线x=π对称
答案：B
解析：
解：A，∵f（x）=cosxsin2x，
∴f（-x）=cos（-x）sin2（-x）=cosxsin2x=f（x），
∴f（x）是偶函数；
又f（x+2π）=cos（x+2π）sin2（x+2π）=cosxsin2x=f（x），
f（x）是周期函数；
∴f（x）既是偶函数又是周期函数，即A正确；
B，∵|cosx|≤1，|sin2x|≤1，二者不能同时取到等号，
∴无论x取什么值，f（x）=cosxsin2x均取不到值1，故B错误；
C，∵f（x）+f（π-x）=cosxsin2x+cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x-cosxsin2x=0，
∴f（x）的图象关于点（，0）对称，即C正确；
D，∵f（2π-x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）=cosxsin2x=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=π对称，即D正确．
综上所述，结论中错误的是：B．
故选：B．
7．sin55°sin65°-cos55°cos65°值为（　　）
A．
B．
C．-
D．-
答案：A
解析：
解：sin55°sin65°-cos55°cos65°=-cos（55°+65°）=-cos120°=，
故选：A．
8．若角α终边上一点的坐标为（1，-1），则角α为（　　）
A．2kπ+
B．2kπ-
C．kπ+
D．kπ-，其中k∈Z
答案：B
解析：
解：终边过点（1，-1），那么可以作出角α的终边，进而得出角α的大小．
所以，α=2kπ-；
故选B．
9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案：C
解析：
解：∵===
∴把函数的图象向右平移个单位即可得的图象
故选 C
10．已知α是第二象限的角，那么是第几象限的角（　　）
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角
C．第一、三象限角 D．第三、四象限角
答案：C
解析：
解：∵α是第二象限的角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z，
∴kπ+＜＜kπ+，k∈z，故是第一、三象限角，
故选 C．
11．函数y=cos（2x-），在区间[-，π]上的简图是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：
解：∵y=cos（2x-）
=cos（-2x）
=sin[-（-2x）]
=sin（2x-），
又x∈[-，π]，
∴2x-∈[-，]，
∴当x=-时，y=sin（-π-）
=-sin（π+）
=sin
=＞0，故可排除B，D；
又当x=-时，y=sin（2x-）=sin（-π）=0，可排除C，
故选A．
12．已知α为锐角，sin（α+）=，则sinα的值是（　　）
A．
B．
C．-
D．
答案：D
解析：
解：α为锐角，sin（α+）=＜，∴π＞α+＞．
∴cos（α+）=-=-，
∴sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin=+=，
故选：D．
13．已知cos2α+sinα（2sinα-1）=，α∈（，π），则tan（）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：
解：∵cos2α+sinα（2sinα-1）=，
∴1-2sin2α+2sin2α-sinα=，
解得sinα=，又α∈（，π），
∴cosα==-，
∴tanα==，
∴tan（）==
故选：A
14．已知m＞0，且mcosα-sinα=sin（α+φ），则tanφ=（　　）
A．-2 B．-
C．
D．2
答案：A
解析：
解：因为mcosα-sinα=sin（α+φ）=cosφsinα+sinφcosα，
所以，所以m2+1=5，所以m=2，
tanφ=-m=-2．
故选A．
15．已知cosα+sinα=，则cos（-2α）的值等于（　　）
A．-
B．-
C．
D．
答案：B
解析：
解：∵cosα+sinα=，
∴，∴．
∴cos（-2α）==．
故选：B．
16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（　　）
A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
答案：D
解析：
解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
可得函数y=3sin[2（x+）+]=3sin（2x+） 的图象，
故选：D．
17．若，并且α是第二象限角，那么sinα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：
解：∵，
∴，
即cosα=-2sinα．
又sin2α+cos2α=1，
∴sin2α+（-2sinα）2=1，
即5sin2α=1．
又α是第二象限角，
∴．
故选：D．
18．若α是锐角，且cos（α+）=，则sinα的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：
解：α是锐角，且cos（α+）=，∴sin（α+）=，
则sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin=-×=，
故选：B．
19．若cosα=-，α是第三象限角，则=（　　）
A．2 B．
C．-2 D．-
答案：D
解析：
解：若cosα=-，α是第三象限角，则有 sinα=-．
∴====-，
故选D．
20．在△ABC中，若3cos（A-B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（　　）
A．-
B．-
C．-
D．-2
答案：B
解析：
解：△ABC中，若3cos（A-B）+5cosC=0，即3cos（A-B）+5cos（π-A-B）=3cos（A-B）-5cos（A+B）=0，
即 3cosAcosB+3sinAsinB-5cosAcosB+5sinAsinB=0，
故8sinAsinB=2cosAcosB，tanAtanB=，
tanA+tanB≥2=1，∴tan（A+B）=≥=，
则tanC=-tan（A+B）≤-，当且仅当tanA=tanB时，等号成立，
故选：B．
评卷人 得　分
二．填空题（共__小题）
21．把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是______．
答案：y=3sin2x-1
解析：
解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=3sin[2（x-）+]=3sin2x的图象，
再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是y=3sin2x-1，
故答案为 y=3sin2x-1．
22．已知π＜α+β＜π，-π＜α-β＜-，则2α的取值范围是______．
答案：（0，π）
解析：
解：∵π＜α+β＜π，-π＜α-β＜-，
∴0＜2α＜π，
∴2α的取值范围是（0，π）．
故答案为：（0，π）．
23．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=______．
答案：1
解析：
解析：∵tanβ=，
∴tanβ==tan（-α）．
又∵α、β均为锐角，∴β=-α，即α+β=，
∴tan（α+β）=tan=1．
故答案为：1．
24．已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，则sinα+cosβ=______．
答案：
解析：
解：∵＜β＜α＜，
∴-＜-β＜-，
∴π＜α+β＜，0＜α-β＜．
又cos（α-β）=，sin（α+β）=-，
∴sin（α-β）==，
cos（α+β）=-，
∴cos[（α-β）+（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）
=×（-）-×（-）
=-．
同理可求：cos[（α+β）-（α-β）]=-；
又α=，β=，
由＜β＜α＜可知，sinα＞0，cosβ＜0．
∴sinα=sin===，
cosβ=cos=-=-=-，
∴sinα+cosβ==．
故答案为：．
25．sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于______．
答案：
解析：
解：由题意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=
故答案为：．
评卷人 得　分
三．简答题（共__小题）
26．函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，满足f（0）=2，f（）=+，
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若α，β∈（0，π），f（α）=f（β），且α≠β，求tan（α+β）的值．
答案：
解：（1）函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx=a（1+cos2x）+，
∵f（0）=2，f（）=+，
∴2a=2，+=，
解得a=1，b=2．
∴f（x）=1+cos2x+sin2x
=+1，
∵∈[-1，1]，
∴f（x）max=+1，f（x）min=1-．
（2）∵f（α）=f（β），
∴=，
∵α，β∈（0，π），且α≠β，
∴+=π或3π，
∴α+β=或．
∴tan（α+β）=1．
27．已知向量=（-2，sinθ）与=（cosθ，1）互相垂直，其中θ∈（，π）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=，＜φ＜π，求cosφ的值．
答案：
解：（1）∵与互相垂直，
则，即sinθ=2cosθ，
代入sin2θ+cos2θ=1得，，
又∵θ，∴．
（2）∵φ＜π，∴＜θ-φ＜，
由sin（θ-φ）=，结合同角三角函数关系得
∴cosφ=cos（θ-（θ-φ））=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=．
28．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若不等式|f（x）-m|≤3对一切x∈[-，]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．
答案：
解：（1）f（x）=-2sin2x+2sinxcosx+2
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期为T==π．
令2x+=kπ，则x=-（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（-，1）（k∈Z）．
（2）∵x∈[-，]，
∴-≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1，
∴0≤f（x）≤3．
∴当x=-时，f（x）的最小值为0；
当x=时，f（x）的最大值为3．
由题意得，-3≤f（x）-m≤3，
∴m-3≤f（x）≤m+3对一切x∈[-，]恒成立，
∴，解得0≤m≤3，
∴所求实数m的取值范围为[0，3]．
（3）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），
得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
即f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），
又x∈[-π，π]，
∴f（x）的单调递减区间为[-，-]，[，]．
29．已知f（x）=coscos-sinsin．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈，求函数f（x）的零点．
答案：
解：（Ⅰ）f（x）=coscos-sinsin=cos（+）=cos2x，（4分）
∵ω=2，∴T==π，
则函数f（x）的最小正周期为π；（5分）
（Ⅱ）令f（x）=0，即cos2x=0，
又∵x∈[，π]，（7分）
∴2x∈[π，2π]，（9分）
∴2x=，即x=，
则x=是函数f（x）的零点．（12分）
30．已知函数（a为常数，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在上的最大值与最小值之和为3，求常数a的值．
答案：
解：（Ⅰ）
=
=-2
=，
∴函数f（x）的最小正周期T==π．
（Ⅱ）当x∈，，
∴函数f（x）在上的最大值是，
最小值是，
∴（1+a）+（-2+a）=3，得a=2．
高中数学三角函数（大题）专项训练
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（1）证明：A＝2B；
（2）若cosB＝，求cosC的值．
16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA＝，求sinC的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．
（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．
20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
参考答案
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，
∴由正弦定理得：＝2R＝2，
∴sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB，
∴2（）＝（a﹣b） ，
化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，
故a2+b2﹣c2＝ab．
解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，
∴cosC＝＝＝，
解得C＝，
∴c＝2sinC＝2 ＝．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，
又bsinA＝acos（B﹣）．
∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+，
∴tanB＝，
又B∈（0，π），∴B＝．
（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，
由余弦定理得b＝＝，由bsinA＝acos（B﹣），得sinA＝，
∵a＜c，∴cosA＝，
∴sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝2cos2A﹣1＝，
∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝＝．
3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【解答】解：（1）由，解得，
∴cos2α＝；
（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．
∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）＝＝．
则tan（α+β）＝．
∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
∴由正弦定理得：＝，即＝，
∴sin∠ADB＝＝，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB＝＝．
（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，
∵DC＝2，
∴BC＝
＝＝5．
5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sinxcosx＝+sin2x
＝sin（2x﹣）+，
f（x）的最小正周期为T＝＝π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，
可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，
即有2m﹣≥，解得m≥，
则m的最小值为．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB＝bsinA，
又asinA＝4bsinB，得4bsinB＝asinA，
两式作比得：，∴a＝2b．
由，得，
由余弦定理，得；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA＝4bsinB，得．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴．
于是，，
故．
7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）
＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）
＝sinωx﹣cosωx
＝sin（ωx﹣），
又f（）＝sin（ω﹣）＝0，
∴ω﹣＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB＝，可得cosB＝．
由已知及余弦定理，有＝13，
∴b＝．
由正弦定理，得sinA＝．
∴b＝，sinA＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．
故sin（2A+）＝＝．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，
∴3csinBsinA＝2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC＝；
（2）∵6cosBcosC＝1，
∴cosBcosC＝，
∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，
∴cos（B+C）＝﹣，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝，
∵＝＝＝2R＝＝2，
∴sinBsinC＝ ＝＝＝，
∴bc＝8，
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc＝9，
∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，
∴b+c＝
∴周长a+b+c＝3+．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，
∴sinB＝4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，
∴cosB＝；
（2）由（1）可知sinB＝，
∵S△ABC＝ac sinB＝2，
∴ac＝，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2××
＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，
∴b＝2．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，
＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，
＝cos2x+sin2x，
＝sin（2x+），
∴T＝＝π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）≥﹣
12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）∵＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），∥，
∴﹣cosx＝3sinx，
当cosx＝0时，sinx＝1，不合题意，
当cosx≠0时，tanx＝﹣，
∵x∈[0，π]，
∴x＝，
（2）f（x）＝＝3cosx﹣sinx＝2（cosx﹣sinx）＝2cos（x+），
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，
由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，
（2）a＝7，则c＝3，
∴C＜A，
∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC＝，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×+×＝，
∴S△ABC＝acsinB＝×7×3×＝6．
14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，
＝sin2ωx+cos2ωx，
＝，
由于函数的最小正周期为π，
则：T＝，
解得：ω＝1．
（2）由（1）得：函数f（x）＝，
令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（1）证明：A＝2B；
（2）若cosB＝，求cosC的值．
【解答】（1）证明：∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．
∴A＝2B．
（II）解：cosB＝，∴sinB＝＝．
cosA＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sinA＝＝．
∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝+×＝．
16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2 ﹣1+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sinx+﹣1的图象，
∴g（）＝2sin+﹣1＝．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA＝，求sinC的值．
【解答】解：（1）∵asin2B＝bsinA，
∴2sinAsinBcosB＝sinBsinA，
∴cosB＝，∴B＝．
（2）∵cosA＝，∴sinA＝，
∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB
∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B＝A﹣B，
∴A＝2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，
∴bcsinA＝，
∴2bcsinA＝a2，
∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，
∴sinC＝cosB，
∴B+C＝90°，或C＝B+90°，
∴A＝90°或A＝45°．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．
（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，
∴由正弦定理得：，
∴＝，
∵sin（A+B）＝sinC．
∴整理可得：sinAsinB＝sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝．
sinA＝，＝
+＝＝1，＝，
tanB＝4．
20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB＝，B∈（0，π），
∴sinB＝，
∵，
∴AB＝＝5；
（2）cosA═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sinBsinC﹣cosBcosC＝﹣．
∵A为三角形的内角，
∴sinA＝，
∴cos（A﹣）＝cosA+sinA＝．
21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
【解答】解：（1）∵f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，
则f（x）＝4tanxcosx （cosx+sinx）﹣
＝4sinx（cosx+sinx）﹣
＝2sinxcosx+2sin2x﹣
＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣
＝sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x﹣），
则函数的周期T＝；
（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，
当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，
由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，
得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，
当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），
即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC
2cosCsinC＝sinC
∴cosC＝，
∴C＝；
（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab ，
∴（a+b）2﹣3ab＝7，
∵S＝absinC＝ab＝，
∴ab＝6，
∴（a+b）2﹣18＝7，
∴a+b＝5，
∴△ABC的周长为5+．