2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 9.4 向量应用（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 9.4 向量应用
一、选择题
1．已知O是所在平面内的一点,若,则一定为( )
A.以BC为底边的等腰三角形 B.以AB为底边的等腰三角形
C.以BC为斜边的直角三角形 D.以AB为斜边的直角三角形
2．如图，已知O是的垂心，且，则等于( )
A. B. C. D.
3．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A. B. C. D.
4．已知，，，，，则的最大值为( )
A. B.4 C.6 D.
5．某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量( )
A. B.
C. D.
6．如图，圆O是边长为4的正方形的内切圆，是圆O的内接正三角形，若绕着圆心O旋转，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．已知是边长为1的等边三角形,点D在边上,且,点E是边上任意一点（包含B,C.点）,则的取值可能是( )
A. B. C.0 D.
8．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设中,点O H G分别是外心 垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
9．一个所受重力大小为的物体从倾斜角为，斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.
10．如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________N.
11．已知等边的外接圆O的面积为,动点M在圆O上,若,则实数的取值范围为________________.
四、解答题
12．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
13．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.
参考答案
1．答案：C
解析：由得,
则,
所以,则,
所以,则,
所以是以BC为斜边的直角三角形.
故选：C.
2．答案：A
解析：O是的垂心，延长，，分别交边，，于点P，M，N，如图，
则，，，，，
因此，，
同理，
于是得，
又，
由“奔驰定理”有，
即，所以，
故选：A.
3．答案：A
解析：依题意，，，所以.故选A.
4．答案：C
解析：如图所示，
不妨设，，，，，满足，，，
又，即，
由椭圆的定义可知点C在以，A为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，，，所以该椭圆方程为，
而，即，
即，这表明了点D在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，
又，等号成立当且仅当C，D，E三点共线，
故只需求的最大值即可，因为点C在椭圆上面运动，
所以不妨设，
则，
所以当，且C，D，E三点共线时，
有最大值，.
故选：C.
5．答案：D
解析：根据题意可得.
图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图.
由对称性可得，
，
点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线，
所以，，所以.故选D.
6．答案：D
解析：由题意，可得，
又由，
所以，
又因为，
所以，
所以的最大值为，故选D.
7．答案：AB
解析：设BC的中点为O,以点O为坐标原点,,所在直线分别为x,y
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
由于是边长为1的等边三角形,且,
所以,,设,则,
所以,,
所以,所以,
即,
故选：AB.
8．答案：ABC
解析：如图:
根据欧拉线定理可知,点O H G共线,且.
对于A,,,故A正确;
对于B,G是重心,则延长AG与BC的交点D为BC中点,且,则,故B正确;
对于C,
,故C正确;
对于D,显然不正确.
故选:ABC.
9．答案：
解析：因为物体的重力为，物体在重力方向上的位移大小是，所以重力做的功为.
10．答案：
解析：一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，因为，与水平夹角均为，，所以由向量加法的平行四边形法可知的方向是竖直向上的，且，所以物体的重力大小为.
11．答案：
解析：依题意,设的外接圆的半径为R,则,故,
在等边中由正弦定理得,则;
取线段的中点N,连接,则,
所以;
取线段的中点P,连接,则O在线段上,且,
所以,
则又,
故,则.
故答案为：.
12．答案：
解析：M，N分别是BC，AC的中点，
，.
与的夹角等于，.
，
，
，
.
13．答案：证明见解析
解析：证明：因为所以.
又因为E，F分别为AD，BC的中点，则，，
所以.
因为，共线且同向，所以.
不妨设，则，所以.
又EF，CD无公共点，所以.同理.所以梯形的中位线定理即证.
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