2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 11.3 余弦定理、正弦定理的应用（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 11.3 余弦定理、正弦定理的应用
一、选择题
1．如图所示，为了测量山高，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，，从C点测得.已知山高，则山高（单位：m）为( )
A. B. C. D.
2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高( )
A. B.
C. D.
3．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为( )
A. B. C. D.
4．如图所示,从热气球A上测得地面上点B的俯角为,点C的俯角为,图中各点在同一铅垂平面内,已知B,C两点间距离为,则热气球距地面的高度为( )
A. B. C. D.
5．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,简称“解放碑”,位于重庆市渝中区,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为、点B处测得其顶点P的仰角为,若米,且,则解放碑的高度为( )
A.米 B.55米 C.米 D.米
6．在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据：( )
A.2 B.4.5 C.9.5 D.10
二、多项选择题
7．某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，则x的值为
A. B. C.2 D.3
8．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )
A.s，，， B.s，，，
C.s，，， D.s，，，
三、填空题
9．甲船在B岛的正南方向A处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为________千米.
10．已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为_________.
11．已知海岛B在海岛A的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为.一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛B出发，同时海警船以的速度从海岛A进行追赶，经过t小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东________.
四、解答题
12．如图,在山脚A测得山顶P的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走a米到达B处,在B测得山顶P的仰角为.
(1)若,,,求山的高度;
(2)若,,,,求的余弦值.
13．如图，在平面四边形中，，，的面积为.
（1）求的长；
（2）若，，求的长.
参考答案
1．答案：A
解析：在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
2．答案：D
解析：在中，，，
由正弦定理得，可得，
过点B作，可得，
所以.
故选：D.
3．答案：B
解析：由题意有：底面，
在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，
，，，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
，
解得：.
故选：B.
4．答案：C
解析：在中,,所以,
在中,,所以,
因为B,C两点间距离为,
所以,解得.
故选：C.
5．答案：A
解析：设,由已知,,,,
则,,又,,
在中：,则
解得或（舍去）,所以解放碑的高度为米.
故选：A.
6．答案：B
解析：
如图，当台风中心向西北方向移动到达点C时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响，
设t小时后该城市所在地开始受到影响，台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km，
又台风中心向西北方向移动，所以，
由余弦定理可得，
解得或（舍），
则开始受到影响在之后.
故选：B.
7．答案：AB
解析：如图所示，在中，，，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或.故选AB.
8．答案：ACD
解析：对于A，已知s，，，，在中，利用三角形内角和为可求得，利用正弦定理，可求得BC.在中，，由，即可求得AB，因此A符合；
对于B，在中，已知一边CD，一角，无法求解三角形.
在中，已知两角，，无法求解三角形.
在中，已知一边CD，一角，无法求解三角形，因此B不符合；
对于C，在中，已知一边CD，两角，，由三角形内角和定理可求得，由正弦定理可求得AC.
在中，已知两角，及一边AC，利用，可求得AB，因此C符合；
对于D，在中，已知两角，，由，可用AB表示BC，在中，由，可用AB表示BD，在中，已知，CD，用AB表示的BD，用AB表示的BC，然后利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB，因此D符合.故选ACD.
9．答案：
解析：设甲、乙两船相距最近时，甲、乙分别行至C、D处，如图所示，则，
设，则，
在中，由余弦定理知，
当时，取得最小值75，即取得最小值，
所以甲、乙两船的最近距离为千米.
故答案为：.
10．答案：或
解析：设，，，则，.
在中，；在中，.
因为，所以，
所以，整理①.因为，所以.
在中，，即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立.
11．答案：
解析：设海警船的航行方向是北偏东，
由题知，，，
在中，由正弦定理得到，得到，
又，所以，得到，
故答案为：.
12．答案：(1)
(2)
解析：(1)过点B作于点D,则四边形是矩形,
在中,,,
所以,,
设,
在中,,
所以,
在中,,
所以,即,
所以,解得,
所以山的高度为.
(2)在中,,
所以,,
在中,,,
所以,
在中,,
所以,即,
所以,
整理得,
又,
所以,整理得,
所以,
因为为锐角,所以.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1），，的面积为，
，
，
由余弦定理得，
.
（2）由（1）知中，，，
，
，，
又，，
在中，由正弦定理得，
即，.
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