2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 13.2 基本图形位置关系（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 13.2 基本图形位置关系
一、选择题
1．如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面ABC,则四面体的四个面中,直角三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,则( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,则
D.若,,则
3．已知某圆锥的侧面积为,轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为( )
A. B. C. D.
4．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
5．已知直线平面，直线平面，则( )
A.若l与m垂直，则l与一定垂直
B.若l与m所成的角为，则l与所成的角也为
C.是的充分不必要条件
D.若l与相交，则l为m一定是异面直线
6．如图,在长方体中,若E,F,G,H分别是棱,,,上的动点,且,则必有( )
A. B.
C.平面平面EFGH D.平面平面EFGH
二、多项选择题
7．已知m,n是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题为真命题的有( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则或
D.若,m,n相交,则
8．已知点A,B为不同的两点,直线,,为不同的三条直线,平面,为不同的两个平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,,,则直线
三、填空题
9．已知m,n是两条不同的直线,、是两个不重合的平面,给出下列命题:
①若,,,则;
②若m,,,,则;
③是两条异面直线,若,,,,则.
上面的命题中,真命题的序号是________.（写出所有真命题的序号）
10．如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若P为棱的中点，则直线与直线所成的角为________.
11．如图,已知平面ABC,,,E,F分别为棱BD,AC上的动点（含端点）,则线段EF长度的最小值为________.
四、解答题
12．类比思想在数学中极为重要,例如类比于二维平面内的余弦定理,有三维空间中的三面角余弦定理,如图1,由射线PA,PB,PC构成的三面角P-ABC,记,,,二面角的大小为,则.
如图2,四棱柱中,底面ABCD为菱形,,,,且.
（1）在图2中,用三面角余弦定理求的值;
（2）在图2中,直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为,证明:;
（3）在图2中,过点B作平面,使平面平面,且与直线相交于点P,求的值.
13．在直三棱柱中,,E为AC的中点.
（1）若,,求BE的长;
（2）若,,求二面角的平面角的正切值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为平面ABC,平面ABC,平面ABC,平面ABC
所以,,,
所以,为直角三角形,
又因为AB是圆O的直径,所以,为直角三角形
因为,平面PAC,平面PAC
所以平面PAC
又平面PAC,
所以,为直角三角形
综上,四面体的四个面都是直角三角形.
故选:D
2．答案：D
解析：对于A,若,,,则m,n可能平行,也可能异面,A错误;
对于B,若,,,则可能有,也可能有,B错误;
对于C,若,则有可能是,也可能,C错误,
对于D,根据线面平行的性质定理可知若,,则,正确,
故选：D.
3．答案：C
解析：设圆锥的母线为,底面半径为,高为,
由题意可得:,解得,
设该圆锥的母线与底面所成的角为,则,
可得,所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选:C.
4．答案：D
解析：选项A：根据给定条件有或；
选项B：根据给定条件有或；
选项C：根据给定条件有m与的位置可能平行、相交或m在内；
选项D：因为，所以存在直线使得，
又因为，所以，因为，所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：对于A，当l与m垂直时，由线面垂直判定定理可得l与不一定垂直，A错误；
对于B选项，由线面角的定义可知，l与所成的角是直线l与平面内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为，则l与所成的角满足，B错；
对于C选项，若，，，则，即，
若，因为，则l与m平行或异面，即，
所以，是的充分不必要条件，C对；
对于D选项，若l与相交，则l与m相交或异面，D错.
6．答案：B
解析：若点E与重合,点H与点重合,
则与EH的夹角便是与的夹角,显然与的夹角不是,
所以错误,A错误;
当FG与重合时,由可得,
当FG与不重合时,
因为,平面,平面,
所以平面,平面,
平面平面,
所以,又,
所以,B正确;
当平面EFGH与平面重合时,平面与平面不垂直,C错误;
当FG与BC重合时,平面与平面EFGH相交,D错误.
故选;B.
7．答案：BC
解析：对于A,若,,则直线m,n可能相交或平行或异面,故A错误.
对于B,若,,则,故B正确.
对于C,若,,则或,故C正确.
对于D,若,m,n相交,则或n与相交,故D错误.
8．答案：AC
解析：若,则垂直于任一条平行于的直线,又,则,故A正确;
若,不能推出,故B错误;
若,则,,又,故,故C正确;
若,,则AB为内的一条直线,不一定对,故D错误.
9．答案：③
解析：若,,,则m与n平行或异面,故①错误;
m,,,,但m与n不一定相交,不一定成立,故②错误;
m,n是两条异面直线,若,,,,
则过m的平面与平面相交于直线,有,过n的平面与平面相交于直线,
有,m,n异面,,一定相交,,,,,
如图所示,由面面平行的判定可知,故③正确.
故答案为:③.
10．答案：/
解析：设E，F分别为棱，的中点，连接，，，，如图所示，
因为E，F分别为棱，的中点，
所以，
又因为P为棱的中点，F为棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为直线与直线所成的角（或其补角）.
设正三棱柱的棱长为，则
，，
，
，
，
所以，即，
所以，
故直线与直线所成的角为.
故答案为：.
11．答案：/
解析：过E作交AB于O,连接OF,
由于平面ABC,故平面ABC,平面ABC,故,
故,
设,
,,,
则,故,
当OE长度一定时,此时要使EF最小,则OF最小,故,
,则,
,
故当时,此时EF取最小值,
故答案为:
12．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）2
解析：（1）设,连接,
由菱形ABCD可得,而,,故,
而,故为等边三角形,故,
因为,,,故,
所以,而,故,
因为,平面,故平面,
而平面ABCD,故平面平面,
故的二面角的平面角为直角,而,
由三角面公式可得:
（2）依题意可得,设平面ABCD内任一条直线为l,
若l过A点时,记AC与l夹角为（）,
由（1）及三面角公式可得,
因为,所以,
又,所以;
若l不过A点时,过点作使得,记与的夹角为（）,
则,因为,
所以,
又,所以;
综上可得
（3）连接,,
因为,平面,平面,所以平面,
同理可证平面,又,AC,平面,
所以平面平面,
因为平面平面,而平面,所以平面平面,
又平面平面,又平面平面,
所以,又即,
所以四边形为平行四边形,所以,而在的延长线上,
因为,所以,
所以,即.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点E为AC的中点,所以,
两边平方可得,故
（2）由题意及,知BA,BC,两两互相垂直,所以以B为坐标原点,BA,BC,所在直线分别为x轴、y轴、x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,则,,,设平面的法向量为,
则即取,可得
设平面的法向量为,
则取,可得
设与的夹角为,二面角的平面角为,
则,由图观察可得该二面角的平面角为锐角,
故,,所以
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