2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 13.3 空间图形的表面积和体积（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册课时作业 13.3 空间图形的表面积和体积
一、选择题
1．被誉为“湖北乌镇,荆门丽江”的莫愁村,位于湖北省钟祥市.高高的塔楼,是整个莫愁村最高的建筑,登楼远跳,可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台,如图所示,上底面正方形的边长约为8米,下底面正方形的边长约为12米,高约为15米,则塔楼主体的体积（单位:立方米）约为( )
A.2400 B.1520 C.1530 D.2410
2．已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
3．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃.若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）( )
A.1kg B.2kg C.3kg D.0.5kg
4．折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分）,若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,且,则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5．在四棱锥中，底面为平行四边形，点E、F分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为( )
A. B. C. D.
6．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了( )
A.54 B. C. D.
二、多项选择题
7．如图，四边形ABCD为正方形，平面，，.记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
8．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，高为，则( )
A.正四棱锥的底面边长为 B.正四棱锥的斜高为
C.正四棱锥的侧面积为 D.正四棱锥的表面积为
三、填空题
9．圆台的母线长为,上、下底面半径分别为2,3,则该圆台的体积为__________.
10．在三棱锥中,,,D为AC的中点,平面ABC,且,则三棱锥外接球的表面积为________________________.
11．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4,母线与下底面所成的角为,则该圆台的侧面积为___________.
四、解答题
12．如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D，E是，的中点，.求:
（1）正三棱柱的侧棱长；
（2）正三棱柱的表面积.
13．在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,三棱锥的体积为,平面与平面的交线为l.
（1）求四棱锥的体积,并在答卷上画出交线l（注意保留作图痕迹）.
（2）若,,且平面平面,在上是否存在点N,使平面与平面所成角的余弦值为？若存在,求的长度;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,正四棱台的上底面边长约为8米,下底面边长约为12米,高约为15米,
可得正四棱台的上底面面积为64平方米,下底面面积为144平方米,
则塔楼主体的体积约为立方米.
故选:B.
2．答案：D
解析：因为圆锥的底面半径是1，高为，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为.
故选：D
3．答案：A
解析：由题意可得惊鸟铃的体积约为长，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）.
故选：A.
4．答案：D
解析：设圆台上下底面的半径分别为,,由题意可知,解得,
,解得:,作出圆台的轴截面,如图所示:
图中,,,
过点D向AP作垂线,垂足为T,则,
所以圆台的高,
则上底面面积,,由圆台的体积计算公式可得:
,
故选:.
5．答案：C
解析：连接，，
由题意可知：，，
则，
所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：如图，
转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，
设直角边x，则斜边为，则有，得到，由几何关系得：阴影部分的面积为，
所以增加的面积为.
故选：C.
7．答案：CD
解析：如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.
设，则.由平面，，所以平面ABCD，所以，.由平面，平面ABCD，所以.又，且，平面BDEF，所以平面BDEF.又平面BDEF，所以.易知，，，，，所以，所以，而，平面ACE，所以平面ACE.又，所以，所以有，，，，所以选项A，B不正确，选项C，D正确，故选CD.
8．答案：BC
解析：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，则SO为正四棱锥的高.在中，，则，即正四棱锥的底面边长为，斜高为，侧面积为，表面积为.故选BC.
9．答案：或
解析：因为圆台的母线长为,上、下底面半径分别为2,3,
所以圆台的高,
所以圆台的体积.
故答案为:
10．答案：
解析：在中,,,
由余弦定理得,
所以,设的外接圆的半径为r,
则由正弦定理得,解得
结合图形解题思路：

因为D为AC的中点,平面ABC,且,
在中,,,
又,则圆心到D点的距离为,
另设三棱锥的外接球球心O到平面的距离为,设外接球的半径为R,
则中,,即,
直角梯形中,,即,
解得,,所以.
故答案为：.
11．答案：
解析：圆台的轴截面如下图：
因为母线与下底面所成的角为,所以母线长为,
所以圆台的侧面积为：.
故答案为：.
12．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意，，
根据正三棱柱得面，又面，所以，
在中，，
又D是中点，故侧棱长为.
（2）底面积为，侧面积为.
所以棱柱表面积为.
13．答案：或
解析：,
,,,
,,
延长BC,AD,设BC的延长线和AD的延长线交点为M,连接PM,
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM,
证明：取AD的中点E,连接PE,,E是AD的中点,
,平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,,平面ABCD,
,,即,
以点B为坐标原点,以直线BA、BM分别为轴,以过点B作平面ABCD的的垂线为轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,
,,,
设,
则,
设平面PCD的法向量为,则,即,
令,得,
设平面CDN的法向量为,则,
即
令,可得,
夹角的余弦值为
,,
解得：或,
即在直线l上存在点N,平面与平面的夹角的余弦值为,
此时或.
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