高中数学必修一第三-四章 指数函数与对数函数（含解析）

高中数学必修一第三-四章
一、单选题
1．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（　　）
A．[0， ] B．[ ， ]
C．[ ， ] D．[ ，1]
2．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
4．已知关于 的一次函数 在 上的函数值总是正的，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．以上都不对
5．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
6．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．已知 是非零实数集上的偶函数，且在 上为减函数，若 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B． ，使
C．若 ，则
D．若 ，则
8．关于函数 ，给出以下四个命题：
⑴当 时， 单调递减且没有最值；
⑵方程 一定有实数解；
⑶如果方程 （m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；
⑷ 是偶函数且有最小值．
其中正确的命题个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的取值范围为
C． D．
11．若，，且，则（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数有3个零点
B．若函数有四个零点，则
C．若关于的方程有四个不等实根，则
D．若关于的方程有8个不等实根，则
三、填空题
13．已知奇函数 的定义域为 ，且在 上的图象如下图.则 　 　；根据图象，写出满足函数值 时 的取值集合　 　.
14．已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是　 　．
15．已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是　 　.
16．已知 是 上的奇函数，当时 ， .若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是　 　．
四、解答题
17．英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，经过时间 后物体的温度 满足 ，其中k为正的常数.现有 的物体，放在 的空气中冷却， 以后物体的温度是 ，求上式中k的值，然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是 ，物体会不会冷却到 (精确到0.01).(参考数据： ， ， ， )
18．已知
（1）设 ，求t的最大值与最小值
（2）求f（x）的值域．
19．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．
20．已知定义域为R的函数 是奇函数.
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围.
21．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22．已知函数 .
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围
答案解析部分
1．C
解：∵f（ ）= ＜0，f（ ）= ＜0，f（ ）= ＞0，f（1）=π，
∴只有f（ ） f（ ）＜0，
∴函数的零点在区间[ ， ]上．
2．A
若 ， 符合题意，由此排除C,D两个选项.若 ，则 不符合题意，排除B选项.
3．B
做出函数图像如下
由得，由得
故函数有3个零点
若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，
则a的取值范围，
4．A
由于一次函数是单调函数，依题意有 ，解得 。
5．D
函数，
故当时，函数的图像开口向上
关于对称，所以函数在上递增；
故当时，函数的图像开口向下且关于对称，
所以函数在递增；在上递减；
所以若函数在上递减，则有，得。
6．C
7．C
是非零实数集上的偶函数，且在 上为减函数， ，则 在 上为增函数，且 ，
对于A，因 ，则 ，A不正确；
对于B，满足条件的函数可能无最小值，如： 是非零实数集上的偶函数，满足
在 上为减函数， ，而其值域是 ，不存在M值满足 ，B不正确；
对于C，因 ，则当 时， ，解得 ，则有 ，
当 时， ，解得 ，则 ，综合得 ，C符合题意；
对于D，由 得 ，则 ，解得 或 ，D不正确.
8．B
函数 是偶函数，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，且 恒成立，可得函数草图如下：
（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，故错误；
（2）当 时，函数 与函数 的图像一定有交点，由对称性可知，当 且 时，函数 与函数 的图像也一定有交点，故正确；
（3）当 时，方程 只有1个解 ，故错误；
（4） 由对称性知， 有最小值 ，故正确；
9．A,B,C
函数 与 互为反函数，
则 与 的图象关于 对称，
将 与 联立，则 ，
由直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，
作出函数图象：
则 的中点坐标为 ，
对于A，由 ，解得 ，A符合题意；
对于B， ，
因为 ，即等号不成立，所以 ，B符合题意；
对于C，将 与 联立可得 ，即 ，
设 ，且函数为单调递增函数，
， ，
故函数的零点在 上，即 ，由 ，则 ，
，C符合题意；
对于D，由 ，解得 ，
由于 ，则 ，D不符合题意；
10．A,B,C
作出的图像，如图所示．
设，则．
由的图像及一元二次函数的对称轴性质可知，，C符合题意；
令，解得，所以，A符合题意；
结合上述分析易知的取值范围为，B符合题意；
与不一定关于y轴对称，故不一定成立，D不符合题意．
11． A,B,D
由，得，所以，即，A符合题意.
由，得，所以，B符合题意.
由，得，即，构造函数，因为在上单调递增，且，所以，C不符合题意.
将代入，得，即，解得，D符合题意.
12． A,C,D
解：A选项，当x≥2 时，f(x)=ex-2 单调递增，
当0画出 的图象，可以看出y=e|x-2|关于x=2对称，
当x=2时， y=e|x-2|取得最小值为1，
在同一坐标系内作出y=x的图象，可看出两函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，A正确；
数形结合可得：函数 有四 四个零点，则 ，B错误；
由上图可知：若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根 ，
不妨设
其中x1，x2关于x=-1对称，x3，x4关于x=2对称，则x1+x2=-2 ，x3+x4=4
所以 ，C正确；
D选项，令f(x)=t，则t2-3t+α=0要有2个不相等的实数根t1 ，t2 ，t1 ，t2∈(1，2）
且t1+t2=3 ，α=t1t2 ，
α=t1t2=3t2-，
因为t2∈(1，2） ，所以 ，
由 ，
综上： ，
若关于x的方程 有8个不等实根，则 ，D正确.
13．-1； 或
根据图像可知 ，因为函数 为奇函数，
所以 .
由图像知：当 时，函数 为增函数，且 ，
所以当 时，函数 为增函数，且 ，
若 ，则 的取值集合为 或 .
14．（﹣1，0）
解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），
如图示：
，
令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，
y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
15．
由于在上只有一个零点4，函数在上的两个零点为1和3，
若，此时在上没有零点，函数在上的两个零点为1和3，满足题意，
当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1和3，不满足题意，舍去
当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1，满足题意，
当时，此时在上有零点4，函数在上没有零点，不满足题意，舍去，
综上所述：或。
16．
根据函数为奇函数可求得当 ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立；
当 ， ，当且仅当 时等号成立。
画出函数 的图象（如图所示）。
当 ，令 ，即 ，解得 ，或 （舍去）。
结合图象可得，若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 .
17．解：由题意可知， ， ，
当 时， ，于是 ，
得 ，
∴ ，则 ，
那么 .
当 时，由 ，
得 ，即 ，
即 ，得 ；
当 时，由 ，
得 ，此方程无解.
故开始冷却 后，物体的温度为 ；物体不会冷却到
18．（1）解： ，
∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值 =﹣1；x=4时t有最小值 =﹣2．
（2）解：f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3=g（t），
∴g（t）在t∈[﹣2，﹣1]单调递减，∴t=﹣2（即x=4），取得最大值，g（﹣2）=12．
t=﹣1（即x=2），取得最小值，g（﹣1）=7．
所以函数f（x）的值域[7，12]
19．解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，
解得m=0或m=2
当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，
∵A∪B A，
∴
解得，0≤k≤1
故实数K的取值范围为[0，1]
20．（1）解：因为 是 上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 .
从而有 .又由 知 ，解得 .
当 时， ，满足题意
所以
（2）解：由（1）知 ，
设 ，则
因为函数 在R上是增函数且 ，∴
又 ，∴ 即
所以 在 上为减函数，又因为 是奇函数，
从而不等式 等价于 .
因为 是 上的减函数，由上式推得 .
即对一切 有 ，从而 ，解得 .
所以k的取值范围是
21．（1）解：由幂函数定义，知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，
因此.
（2）解：当时，的值域为，则集合，
由题意知 ，得，解得.
22．（1）解：因为 为奇函数且定义域为 ，则 ，即 ，所以 .
当 时，因为 ，满足条件 为奇函数.故
（2）解：由不等式 对 恒成立得 对 恒成立，因为 为奇函数，所以 对 恒成立（*）.
在 上任取 ， ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减，所以（*）可化为 对 恒成立，即 对 恒成立.
令 .因为 的图象是开口向上的抛物线，
所以由 对 恒成立可得 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
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