课件49张PPT。反比例函数的图象与性质1.2如何画反比例函数 的图象？列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，
让x取一些负数值和一些正数值，并且计算出相
应的函数值，列成下表：描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，
相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.
如下图所示. 观察左图，y轴右边的
各点，当横坐标x逐渐增大
时，纵坐标y如何变化？
y轴左边的各点是否也
有相同的规律？当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当x＜0时，也有这一规律.我们可以证明：对于反比例函数 ，
连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边
各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来. 从 看出，x取任意非零实数，都有y≠0，因此这两支曲线与x轴都不相交.由于x不能取0 ，
因此这两支曲线与y轴也都不相交.
这样就画出了 的图象，如下图所示. 在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数 的图象.
（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如
何变化？（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？观察画出的 ， 的图象，思考下列问题：
可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限. 对于y轴右边的点，当自变量
x逐渐增大时，函数值y反而减小；
对于y轴左边的点也有这一性质. 一般地，当k > 0时，反比例函数 的图象
由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们
与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随
自变量x 的增大而减小.1. 画出下列反比例函数的图象： 解 的图象与 的图象有什么关系？ 如何画反比例函数 的图象？ 当x=3时， 的函数值为-2，而 的
函数值为2．在平面直角坐标系内，点A（3，-2）与B（3，2）关于x轴对称，如下图所示: 类似地，当x取任一非零实数a时， 的函数值
为 ，而 的函数值为 ，从而都有点P(a， )与点Q(a， )关于x轴对称，因此 的图象与 的图象关于x轴对称. 于是只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就得到 的图象，如下图中的红色曲线所示． 从图中看出： 的图象由分别在第二、四
象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，
在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. 类似地，当k＜ 0时，反比例函数 的图象与
的图象关于x 轴对称．从而当k＜0时，反比例函数 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. 由于我们已经知道了当k＜ 0时反比例函数 的图象的性质，因此今后画反比例函数 （k＜ 0）的图象时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.举
例例1
画反比例函数 的图象.列表：让x取一些非零实数，并计算出相应的函数值y，
列成下表.
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，
相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.连线：把y 轴左边各点和右边各点分别用一条
光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数
的图象，如下图所示.
●●●●●●●●●●综上所述，我们得到： 反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为
双曲线.
画出下列反比例函数的图象：(1)(2)(1) 解 （1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式； （2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数
的图象上；（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，
函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式； 解 因为反比例函数 的图象经过点 P（2，4），
即点P 的坐标满足这一函数表达式，
因而 ，
解得 k = 8.
因此，这个反比例函数的表达式为 . （2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数
的图象上；解 把点A，B 的坐标分别代入 ，可知点A 的坐
标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达
式，所以点A 在这个函数的图象上，点B 不在这
个函数的图象上.
解 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第 一、
三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大
而减小.
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，
函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
例2
下图是反比例函数 的图象.根据图象，回答下列问题：
（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；
（2）如果点A（-3， ），B（-2 ， ）是该函数图象
上的两点，试比较 ， 的大小.（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；解 因为点A(-3， ），B（-2， ）是该图象上的两点，
且-3 ＜ 0，-2 ＜ 0，所以点A，B 都位于第三象限.
又因为-3 ＜ -2，由反比例函数图象的性质可知：
＞ .
（2）如果点A（-3， ），B（-2 ， ）是该函数图象
上的两点，试比较 ， 的大小.
例3
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.举
例× 由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P
（-3，4）是这两个函数图象上的点， 即点P的坐标
分别满足这两个表达式.因此因此，这两个函数表达式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.P 1.已知反比例函数 的图象经过点M（-2，2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数
的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自
变量x 的增大如何变化？
（1）求这个函数的表达式；解 因为k ＜ 0，所以这个反比例函数的图象位于第
二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量
x的增大而增大.
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自
变量x 的增大如何变化？
由题意所以 m+3<0.所以 m<-3.所以所以当x = - 4时，反比例函数例1 已知反比例函数 的图象经过点
(2，-1)，下列说法正确的是 （ ）
A.点(-4，2)在它的图象上
B.它的图象分布在一、三象限
C.当x>0时，y随x的增大而增大
D.当x<0时，y随x的增大而减小C例2二、四 反比例函数 的图象在第 象限.结 束1教学目标
进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
2学情分析
九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课采用Z+Z智能教育平台进行教学，比较形象，便于学生接受。
3重点难点
重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
4教学过程
4.1 第一学时
教学活动
活动1【讲授】反比例函数图象与性质
一、忆一忆
师：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗？一次函数的图象是什么图形？
生：作一次函数的图象要采用以下几个步骤：（1）列表（2）描点（3）连线。
生乙：一次函数的图象是一条直线。
师：大家说的很好，看来大家对过去的知识掌握的很牢固，那么同学们想一下，y=4/x 是什么函数？
生：反比例函数。
师：你们能作出它的图象吗？
生：可以。
点评：复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好准备。
二、作图象，试比较
师：请填写电脑上的表格，并开始在坐标纸上描点，连线。
师：再按照上述方法作y=-4/x的图象。
（学生动手操作）
师：下面大家分小组讨论：对照你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。
（学生讨论交流，教师参与）
师：讨论结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法？
生1：它们的图象都是由两支曲线组成的。
生2：y=4/x 的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=－4/x 的图象的两支曲线分布在二、四象限内。
点评：这里让学生自己上台操作，既培养了学生的动手能力，又可以激发学生学好数学的兴趣。
三、细观察，找规律
师：大家都说得很好，下面我们一起观察反比例函数 y=k/x的图象，当k的发值生变化时，函数的图象发生了怎样的变化，并分小组讨论有什么规律。
（展示图象，让学生观察y=k/x 的图象，按下动画按钮，在运动中观察 值的变化与函数的图象变化之间的关系，并与同学们充分讨论）
师：请同学们谈一谈刚才讨论的结果。
生：我发现函数图象的变化与k 的值有关：当 k＞0 时，在每一象限内，y随 x的增大而减小，当 k＜0 时，在每一象限内 ，y随x 的增大而增大。
师：看来大家都经过了认真的思考和讨论，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的知识点一起总结一下。
（1）反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。
（2）当 k＞0时，两支曲线分别在一、三象限；当k＜0时，两支曲线分别在二、四象限。
（3）当k＞0 时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在每一象限内 ，y随x 的增大而增大。
师：如果我们将反比例函数的图象绕原点旋转180后，你会发现什么现象？这说明了什么问题？
（由学生在电脑上进行操作）
生：我发现旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。
师：大家做得很好。那么，如果我们在图象上任取A、B两点，经过这两点分别作 轴、 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别 为S1、S2，观察两个矩形面积的变化情况，并找出其中的变化规律。
题目：（1） 拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。（2） 拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。
生：我们发现，在同一个反比例函数中，不管k 值怎么变化，矩形的面积始终不变。
师：大家的观察很仔细，总结得也很正确。
点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。结论主要有学生来发现，体现了新课程理论的精神。
四、用规律，练一练
1、 课本137页随堂练习1
生：第一幅图是 y=－2/x的图象，因为在这里的 k＜0，双曲线应在第二、四象限。
2、 下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个？在其图象所在象限内， 的值随 的增大而增大的有哪几个？
（1） y=1/(2x)（2）y=0.3/x（3）y=10/x（4）y=－7/(100x)
生：其中（1）（2）（3）的图象在一、三象限；（4）的图象在每一象限内，y 随x 的增大而增大。
五、想一想，谈收获
师：通过今天的学习，你有什么收获？
生甲：我今天知道了怎样画反比例函数的图象。
生乙：我今天知道了反比例函数的图象是由两支曲线所组成的。
生丙：我还懂得了：当k＞0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x 的增大而减小；当k＜0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大
生丁：我还能用反比例函数的相关性质解题。
师：看来大家今天学到了不少知识，只要大家能保持这种对数学的热情和勇于挑战的精神，在数学上一定会有所收获的。
