人教版八年级数学上名师点拨精练第13章轴对称13.2 .2 坐标平面内的轴对称（含解析）
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第13章轴对称13.2 .2 坐标平面内的轴对称（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 08:38:20 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.2 .2 坐标平面内的轴对称
学习目标
1.能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2.掌握点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习重点】点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习难点】会作关于x轴，y轴对称的图形
老师告诉你
1.两点关于x轴对称，其坐标“横等纵反”，两点关于y轴对称，其坐标“横反纵等”
2.点平移的变化规律：“上加下减”“左减右加”，即上下平移，其纵坐标“上加下减”，横坐标不变，左右平移，其横坐标“左减右加”，坐标轴不变。
知识点拨
知识点1. 关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标（a,b），则它关于x轴的对称点的坐标为(a-b)，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【新知导学】
例1-1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，-4），按要求解下列问题：
（1）写出点C关于x轴的对称点C'的坐标；
（2）求△ABC的面积．
2．已知点P（m,n）且m,n满足（2m-6）2+|n+2|=0，试求点P关于x轴对称的点的坐标．
3．点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标是 _____．
知识点2. 关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
已知P点坐标为（a,b），则它关于轴对称点的坐标为（-a,b），如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【新知导学】
例2-1．蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 _____．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）若△A1B1C1与△ABC关于y轴的对称，写出点A1，B1，C1的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使点P到A、C两点的距离之和最小（保留作图痕迹）．
2．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．
（1）在图中△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，则C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面积是 _____；
（3）如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是 _____．
3．如图，平面直角坐标系中，小正方形组成的网格的边长是1，△ABC的三个顶点均在格点上，且AC经过坐标原点O，请按要求完成下列各题．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）写出点B关于y轴对称的点B1的坐标；
（3）计算△AB1C的面积；
知识点3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
平面直角坐标系中的轴对称变换
计算———计算已知图形特殊点对称点的坐标（注意特殊点一定要能确定原图形）
描点———根据对称的坐标描点
连接———依次连接所描各点得到成轴对称的图形
【新知导学】
例3-1．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（-1，2），则这条直线为 _____．
【对应导练】
1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（-4，5），C（-1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内完善平面直角坐标系；
（2）点B坐标是 _____，点C1坐标是 _____；
（3）求△A1B1C1的面积．
2．已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a,0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
二、题型训练
1.利用对称点的坐标特征求字母的值
1.点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
2.若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
3 .若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
2.利用全等变换在网格中作图
4．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
(1)画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)点A的对应点A1的坐标是 ，点B的对应点B1的坐标是 ，点C的对应点C1的坐标是 ；
(3)若△ABP与△ABC全等，△ABP的顶点P在第四象限内，且不与C重合，则P的坐标是 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，若点P1（m,n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 _____．
6．在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为_____；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为_____；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为_____；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，-1），点Q的坐标为_____．
3.利用全等变换在坐标系中作图
7 .如图所示，△ABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）
(1)直接写出点A的坐标A（ ， ）；
(2)画出△ABC关于轴对称的；
(3)在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积．
8 .如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
9 .已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2016的值．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．点P（-5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）
A. （-5，-3） B. （5，3）
C. （5，-3） D. （3，-5 ）
2．点（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，3） B. （-2，-3） C. （2，3） D. （2，-3）
3．已知点P1（-4，3），P2（-4，-3），则P1和P2满足（ ）
A. P1P2∥x轴 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. P1P2=8
4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，1）和点B（n,m）关于x轴对称，则nm的值是（ ）
A. -3 B.
C. 3 D. -
5．已知点A（m,2024）与点B（2023，n）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'，若点P（2，3）在△ABC的边上，则点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（ ）
A. （3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
7．已知点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点M，G（如图），连AM，AG．若BC=26m+13n.则△AMG的周长为（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
8．如图，在平面直角坐标xOy中，∠A=90°，OA=2，OB平分∠AOx,点B（a-1，a-2）关于x轴的对称点是（ ）
A. （-2，1） B. （3，-2） C. （2，-1） D. （3，-1）
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．已知点A（-2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x=1对称，则B的坐标为 _____．
10．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB=90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 _____．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为（﹣1，1），将P点关于A对称得到P1，将P1关于O点对称得到P2，将P2关于C点对称得到P3，将P3关于B点对称得到P4，将P4关于A点对称得到P5，……，按照顺序以此类推，则P2023的坐标为 ．
12．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有_____种补法．
．
13．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为 _____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知点A（a,3），B（-4，b），试根据下列条件分别求出a,b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；
（2）AB∥x轴，且线段AB=3．
15．（8分）已知点A（2a-b,5+a），B（2b-1，-a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a,b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2019的值．
16．（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD=5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（-2，-2），判断△ABC的形状，并说明理由．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），过（3，0）点作x轴的垂线l,点A与点B关于直线对称；
（1）点B的坐标为 _____；
（2）点C的坐标为（6，0），顺次连接OABC，若在四边形OABC内部有一个点P，满足S△POA=S△PBC，且S△PAB=S△POC，求点P的坐标；
（3）在四边形外部是否存在点Q，满足S△QOA=S△QBC，且S△QAB=S△QOC，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-4，2），C（-2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2；
（4）直接写出点B1，B2的坐标．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.2 .2 坐标平面内的轴对称
学习目标
1.能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2.掌握点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习重点】点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习难点】会作关于x轴，y轴对称的图形
老师告诉你
1.两点关于x轴对称，其坐标“横等纵反”，两点关于y轴对称，其坐标“横反纵等”
2.点平移的变化规律：“上加下减”“左减右加”，即上下平移，其纵坐标“上加下减”，横坐标不变，左右平移，其横坐标“左减右加”，坐标轴不变。
知识点拨
知识点1. 关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标（a,b），则它关于x轴的对称点的坐标为(a-b)，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【新知导学】
例1-1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)4;(2)（4，-3）;
【解析】（1）利用割补法求三角形的面积即可；
（2）根据关于x轴对称的点的性质即可得答案；
（3）设点P的坐标为（0，m），则S△ABP=4，求出m的值，即可得出答案．
解：（1）△ABC的面积为4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4；
故答案为：4；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（4，-3）；
故答案为：（4，-3）；
（3）设点P的坐标为（0，m），
∴S△ABP=AP×2=4，
∴AP=4，
∴|m-1|=4，
∴m=5或-3，
∴点P的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，-4），按要求解下列问题：
（1）写出点C关于x轴的对称点C'的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）根据“关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变”即可解决问题；
（2）利用割补法即可计算三角形面积．
解：（1）由题意可知，点C的坐标为（3，2），
故点C关于x轴的对称点C'的坐标为（3，-2）；
（2）△ABC 的面积为：
3×[3-（-4）]---
=3×7---
=21--6
=10．
2．已知点P（m,n）且m,n满足（2m-6）2+|n+2|=0，试求点P关于x轴对称的点的坐标．
【解析】首先根据绝对值以及偶次方的性质得出m,n的值，再利用关于x轴对称点的坐标性质得出答案．
解：∵（2m-6）2+|n+2|=0，
∴2m-6=0，n+2=0，
解得：m=3，n=-2，
∴P（3，-2），
∴点P关于x轴对称的点的坐标为：（3，2）．
3．点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标是 _____．
【答案】（1，3）
【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可．
解：点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
知识点2. 关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
已知P点坐标为（a,b），则它关于轴对称点的坐标为（-a,b），如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【新知导学】
例2-1．蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 _____．
【答案】（-5，3）
【解析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
解：由题意知，图中点A的坐标为（5，3），其关于y轴对称的点B的坐标为（-5，3），
故答案为：（-5，3）．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）若△A1B1C1与△ABC关于y轴的对称，写出点A1，B1，C1的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使点P到A、C两点的距离之和最小（保留作图痕迹）．
【解析】（1）求出AB的长，再求C点到AB的距离，即可求解；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形，即可求点的坐标；
（3）作A点关于x轴的对称点E，连接CE交x轴于点P，P点即为所求．
解：（1）∵A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3），
∴AB=5，
∴S△ABC=×5×3=；
（2）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）；
（3）作A点关于x轴的对称点E，连接CE交x轴于点P，连接AP，
∴AP=EP，
∴AP+PC=EP+PC=EC，此时P到A、C两点的距离之和最小．
2．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．
（1）在图中△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，则C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面积是 _____；
（3）如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是 _____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）;
【解析】（1）根据关于y轴的对称点的坐标特点可得点C1的坐标；
（2）根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据网格和全等三角形的判定即可得到符合条件的点D的坐标．
解：（1）∵点C的坐标为（4，3），△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，
所以点C1的坐标为（-4，3）．
故答案为：-4；3；
（2）△A1B1C1的面积是=3，
故答案为：3；
（3）如图所示：
要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
故答案为：（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
3．如图，平面直角坐标系中，小正方形组成的网格的边长是1，△ABC的三个顶点均在格点上，且AC经过坐标原点O，请按要求完成下列各题．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）写出点B关于y轴对称的点B1的坐标；
（3）计算△AB1C的面积；
【解析】（1）根据图形直接写出坐标即可；
（2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此作答即可；
（3）利用割补法即可求解；
（4）运用勾股定理求出AB2=12+22=5，BC2=32+42=25，AC2=22+42=20，再利用勾股定理的逆定理即可证明．
解：（1）结合图形可得：A（-1，2）；B（-3，1）；C（1，-2）；
（2）∵关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，B（-3，1），
∴B1（3，1）；
（3）如图，
△AB1C的面积=
=16-2-3-4
=16-9
=7；
知识点3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
平面直角坐标系中的轴对称变换
计算———计算已知图形特殊点对称点的坐标（注意特殊点一定要能确定原图形）
描点———根据对称的坐标描点
连接———依次连接所描各点得到成轴对称的图形
【新知导学】
例3-1．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（-1，2），则这条直线为 _____．
【答案】x=0
【解析】根据轴对称的性质解决问题即可．
解：∵A（1，2），B（-1，2）是纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴A，B关于y轴对称，
∴这条直线是x=0．
故答案为：x=0．
【对应导练】
1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（-4，5），C（-1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内完善平面直角坐标系；
（2）点B坐标是 _____，点C1坐标是 _____；
（3）求△A1B1C1的面积．
【答案】(1)（-2，1）;(2)（1，3）;
【解析】（1）根据A（-4，5），C（-1，3）确定原点位置，然后作出坐标系即可；
（2）根据点B的位置写出点B的坐标即可，根据图形可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，即可得到点C1坐标；
（3）分割法求出△A1B1C1的面积即可．
解：（1）如图所示：建立直角坐标系如下，
（2）由图可知，B（-2，1），
∵A（-4，5），A1（4，5），B1（2，1），
∴△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，如图，
∴C1（1，3）；
故答案为：（-2，1），（1，3）；
（3）△A1B1C1的面积为．
2．已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
【解析】（1）作出△A1A2A3，然后代入面积公式进行运算即可；
（2）关于y=-5对称的两点，横坐标相等，纵坐标之和为2×（-5），由此可得出各点的坐标．
解：（1）如图所示：
关于y轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，则点A2坐标为（-2，5）；
关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数，则A3坐标为（-2，-5）；
则S△A1A2A3=×4×10=20．
（2）点A1（2，5）关于y=-5对称的点B1的坐标为（2，-15）；
点A2（-2，5）关于y=-5对称的点B2的坐标为（-2，-15）；
点A3（-2，-5）关于y=-5对称的点B3的坐标为（-2，-5）；
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a,0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【解析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可得出PP2的长．
解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（-a,0），
∴P1（a,0），
又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，
设P2（x,0），可得：=3，即x=6-a,
∴P2（6-a,0），
则PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．
二、题型训练
1.利用对称点的坐标特征求字母的值
1.点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
则a+b的值是：﹣5．
故选：B．
2.若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从而求出a，b，得出点P的坐标．
【解答】解：根据题意得：
解得：
∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）．
故选：D．
3 .若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是1，
∴直线为：x＝1，
∵点P（a，5）在第二象限，
∴a到1的距离为：1﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：1﹣a+1＝2﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（2﹣a，5）．
故选：B．
2.利用全等变换在网格中作图
4．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
(1)画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)点A的对应点A1的坐标是 ，点B的对应点B1的坐标是 ，点C的对应点C1的坐标是 ；
(3)若△ABP与△ABC全等，△ABP的顶点P在第四象限内，且不与C重合，则P的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)（﹣3，3），（3，﹣3），（﹣1，﹣3）
(3)（3，﹣1）
【分析】（1）依据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，即可得到A1，B1，C1的坐标；
（3）依据全等三角形的性质，即可得到P的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
；
（2）解：A1，B1，C1的坐标分别是（-3，3），（3，-3），（-1，-3）．
故答案为：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）．
（3）解：如图，△ABC≌△BAP，且点P在第四象限．
∴P（3，-1）．
故答案为：（3，-1）．
【点睛】本题主要考查了运用轴对称变换进行作图以及坐标确定位置的运用，解决问题的关键是掌握画一个图形的轴对称图形的方法，画图时先从确定一些特殊的对称点开始．还考查了全等三角形的判定和性质．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，若点P1（m,n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 _____．
【答案】（m,2-n）
【解析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1，再写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于直线y=1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到A1、B1、C1对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（3）根据关于直线y=1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可．
解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求，
∴点C1的坐标为（-3，-3）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由题意得，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线y=1对称，
∴若点P1（m,n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是P2（m,2-n），
故答案为：（m,2-n）．
6．在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为_____；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为_____；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为_____；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，-1），点Q的坐标为_____．
【答案】(1)（-2，5）;(2)（-3，3）;(3)（1，-4）;(4)（-1，-1）;
【解析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）分别作出A，B，C对应点A3，B3，C3即可，作出对应点连线段的垂直平分线的交点Q即可解决问题．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，那么C的对应点C1的坐标为（-2，5）P，点P的坐标为（-3，3）．
故答案为（-2，5），（-3，3）．
（2）△A2B2C2如图所示，那么点B的对应点B2的坐标为（1，-4）．
故答案为（1，-4）．
（3）△A3B3C3即为所求，Q（-1，-1），
故答案为（-1，1）．
3.利用全等变换在坐标系中作图
7 .如图所示，△ABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）
(1)直接写出点A的坐标A（ ， ）；
(2)画出△ABC关于轴对称的；
(3)在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积．
【答案】(1)A（ -2，3）
(2)见解析
(3)3.5
【分析】(1)根据坐标与象限的关系，确定坐标即可．
(2)确定A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，再确定(2，3)， (5，2)， (1，1)，依次连接即可．
(3) 利用构造矩形后用分割法计算面积．
(4) 先确定点A关于y轴的对称点，连接对称点与点C，与y轴的交点即为所求．
【详解】（1）根据题意，得点A在第二象限，
∴A(-2，3)，
故答案为：-2，3．
（2）如图，∵A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，
∴它们关于y轴的对称点，依次为(2，3)， (5，2)， (1，1)，
∴顺次连接 ， ， ，
则即为所求．
（3）如图，补形矩形DEF，
∴的面积为：4×2-
=．
【点睛】本题考查了坐标与象限，点关于y轴对称，坐标系中图形面积的计算，线段和最小的构造法，熟练掌握点的对称点的坐标特点，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
8 .如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）（4，3）；（3）；
【详解】
（1）△A1B1C1如图所示．
(2)点C1的坐标为(4，3)．
(3)S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.
9 .已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2016的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴ ，
解得；
（2）∵A，B关于y轴对称，
∴，
解得，
所以，（4a+b）2016=[4×（﹣1）+3]2016=1
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．点P（-5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）
A. （-5，-3） B. （5，3）
C. （5，-3） D. （3，-5 ）
【答案】A
【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
解：点P（-5，3）关于x轴对称点P的坐标为（-5，-3），
故选：A．
2．点（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，3） B. （-2，-3） C. （2，3） D. （2，-3）
【答案】B
【解析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
解：点（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是：（-2，-3）．
故选：B．
3．已知点P1（-4，3），P2（-4，-3），则P1和P2满足（ ）
A. P1P2∥x轴 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. P1P2=8
【答案】C
【解析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
解：∵点P1（-4，3），P2（-4，-3），
∴P1和P2满足关于x轴对称．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，1）和点B（n,m）关于x轴对称，则nm的值是（ ）
A. -3 B.
C. 3 D. -
【答案】B
【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得n、m的值，进而可得nm的值．
解：∵点点A（3，1）和点B（n,m）关于x轴对称，
∴n=3，m=-1，
∴nm=3-1=，
故选：B．
5．已知点A（m,2024）与点B（2023，n）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案．
解：∵点A（m,2024）与点B（2023，n）关于x轴对称，
∴m=2023，n=-2024，
∴m+n=2023-2024=-1．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'，若点P（2，3）在△ABC的边上，则点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（ ）
A. （3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
【答案】C
【解析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
解：∵△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，点P（2，3）在△ABC的边上，
∴点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（2，-3）．
故选：C．
7．已知点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点M，G（如图），连AM，AG．若BC=26m+13n.则△AMG的周长为（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
【答案】D
【解析】先根据点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，求出m和n的值，即可求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质定理证明AM=BM，AG=GC，那么△AMG的周长就转化为BC的长．
解：∵点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，
∴2m+3n=6，3m-2n=-2，
解得m=，n=，
∴BC=26m+13n=12+22=34，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点M，G，
∴AM=BM，AG=GC，
∴BC=BM+MG+GC=AM+MG+AG=34，
∴△AMG的周长为34．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标xOy中，∠A=90°，OA=2，OB平分∠AOx,点B（a-1，a-2）关于x轴的对称点是（ ）
A. （-2，1） B. （3，-2） C. （2，-1） D. （3，-1）
【答案】C
【解析】过B点作BC⊥x轴于点C，则△OAB≌△OCB，即OC=OA，写出B点坐标，最后求出关于x轴的对称点的坐标．
解：如图，过B点作BC⊥x轴于点C，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠OCB=90°．
∵OB平分∠AOx,
∴∠AOB=∠BOC．
又∵OB=OB，
∴△OAB≌△OCB，
∴OC=OA，
即：a-1=2，
解得：a=3，
∴B（2，1），
∴B（2，1）关于x轴的对称点是（2，-1）．
故选C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．已知点A（-2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x=1对称，则B的坐标为 _____．
【答案】（4，3）
【解析】根据轴对称的性质可知A，B两点到直线x=1的距离相等，据此可解决问题．
解：因为A，B两点关于直线x=1对称，
所以A，B两点的纵坐标相等，
则yB=yA=3；
A，B两点到直线x=1的距离相等，
则1-（-2）=xB-1，
所以xB=4，
则点B的坐标为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
10．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB=90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 _____．
【答案】（0，3）
【解析】利用轴对称的性质可得出AD=AC=8，∠CAB=∠DAB，再通过平行线得出∠ABO=∠CAB，进而得出∠ABO=∠DAB，最后利用等角对等边，结合勾股定理即可解决问题．
解：因为∠ACB=90°，OB∥AC，
所以∠OBC=90°，
又因为∠BOA=90°，
所以四边形BOAC是矩形．
因为点C的坐标为（4，8），
所以AC=8，BC=4，
所以BD=BC=4，AD=AC=8．
因为点D和点C关于AB成轴对称，
所以∠CAB=∠DAB，
又因为OB∥AC，
所以∠OBA=∠CAB，
所以∠OBA=∠DAB，
所以BE=AE．
令BE=AE=x,
则DE=8-x.
在△BDE中，
BD2+DE2=BE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
所以BE=5，
所以OE=8-5=3，
即点E的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为（﹣1，1），将P点关于A对称得到P1，将P1关于O点对称得到P2，将P2关于C点对称得到P3，将P3关于B点对称得到P4，将P4关于A点对称得到P5，……，按照顺序以此类推，则P2023的坐标为 ．
【分析】探究规律，利用规律求解即可．
【解答】解：如图，由题意P（﹣1，1），P1（1，3），P2（﹣1，﹣3），P3（5，3），P4（﹣1，1），
∴P4与P重合，四次一个循环，
∵2023÷4＝505…3，
∴P2023与P3重合，
∴P2023（5，3）．
故答案为：（5，3）．
12．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有_____种补法．
【答案】4
【解析】根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案．
解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
．
故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为 _____．
【答案】（-1，-2）
【解析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505余2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知点A（a,3），B（-4，b），试根据下列条件分别求出a,b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；
（2）AB∥x轴，且线段AB=3．
【解析】（1）直接利用关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案；
（2）利用平行于x轴时，纵坐标相同，进而结合两点之间距离求法得出答案．
解：（1）∵点A（a,3），B（-4，b），A，B两点关于y轴对称，
∴b=3，a=4；
（2）∵点A（a,3），B（-4，b），AB∥x轴，且线段AB=3，
∴b=3，|a-（-4）|=3或|-4-a|=3，
解得：a=-1或-7．
15．（8分）已知点A（2a-b,5+a），B（2b-1，-a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a,b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2019的值．
【解析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴，
解得．
（2）∵点A，B关于y轴对称，
∴，
解得，
∴（4a+b）2019=[4×（-1）+3]2019=-1．
16．（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)4;(2)（4，-3）;
【解析】（1）利用割补法求三角形的面积即可；
（2）根据关于x轴对称的点的性质即可得答案；
（3）设点P的坐标为（0，m），则S△ABP=4，求出m的值，即可得出答案．
解：（1）△ABC的面积为4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4；
故答案为：4；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（4，-3）；
故答案为：（4，-3）；
（3）设点P的坐标为（0，m），
∴S△ABP=AP×2=4，
∴AP=4，
∴|m-1|=4，
∴m=5或-3，
∴点P的坐标为（0，5）或（0，-3）．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD=5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（-2，-2），判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】（1）直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD=5，可得点A的坐标；
（2）根据△ABC关于直线l对称，可得BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，根据点C的坐标，可得AE=CE=3，所以∠CAE=∠C=45°，所以∠BAC=90°，即可得出结论．
解：（1）∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD=5，
∴点A的坐标为（-5，1）；
（2）△ABC为等腰直角三角形，
理由：如图，设直线l与BC交于点E，
∵△ABC关于直线l对称，
∴BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，
∵点C的坐标为（-2，-2），
∴点E的坐标为（-2，1），
∴AE=CE=3，
∴∠CAE=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），过（3，0）点作x轴的垂线l,点A与点B关于直线对称；
（1）点B的坐标为 _____；
（2）点C的坐标为（6，0），顺次连接OABC，若在四边形OABC内部有一个点P，满足S△POA=S△PBC，且S△PAB=S△POC，求点P的坐标；
（3）在四边形外部是否存在点Q，满足S△QOA=S△QBC，且S△QAB=S△QOC，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（4，4）
【解析】（1）观察图象，根据点的位置写出坐标即可；
（2）设P（m,0）．G构建方程求解即可；
（3）设Q（3，t），构建方程求解即可．
解：（1）图形如图所示，B（4，4）．
故答案为：（4，4）；
（2）∵S△POA=S△PBC，
∴点P在对称轴l上，
设P（3，m），
∵S△PAB=S△POC，
∴×2×（4-m）=×6×m,
∴m=1，
∴P（3，1）；
（3）存在．
理由：∵S△QOA=S△QBC，
∴点Q在对称轴l上，
设P（3，t），
∵S△QAB=S△QOC，
∴×2×（4-t）=×6×（-t），
∴t=-2，
∴Q（3，-2）．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-4，2），C（-2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2；
（4）直接写出点B1，B2的坐标．
【解析】（1）根据题意找出三个点，依次连接即可；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（4）根据图象写出坐标即可．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
（4）B1（-4，-2），B2（4，-2）．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.2 .2 坐标平面内的轴对称
学习目标
1.能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2.掌握点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习重点】点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习难点】会作关于x轴，y轴对称的图形
老师告诉你
1.两点关于x轴对称，其坐标“横等纵反”，两点关于y轴对称，其坐标“横反纵等”
2.点平移的变化规律：“上加下减”“左减右加”，即上下平移，其纵坐标“上加下减”，横坐标不变，左右平移，其横坐标“左减右加”，坐标轴不变。
知识点拨
知识点1. 关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标（a,b），则它关于x轴的对称点的坐标为(a-b)，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【新知导学】
例1-1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，-4），按要求解下列问题：
（1）写出点C关于x轴的对称点C'的坐标；
（2）求△ABC的面积．
2．已知点P（m,n）且m,n满足（2m-6）2+|n+2|=0，试求点P关于x轴对称的点的坐标．
3．点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标是 _____．
知识点2. 关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
已知P点坐标为（a,b），则它关于轴对称点的坐标为（-a,b），如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【新知导学】
例2-1．蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 _____．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）若△A1B1C1与△ABC关于y轴的对称，写出点A1，B1，C1的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使点P到A、C两点的距离之和最小（保留作图痕迹）．
2．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．
（1）在图中△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，则C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面积是 _____；
（3）如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是 _____．
3．如图，平面直角坐标系中，小正方形组成的网格的边长是1，△ABC的三个顶点均在格点上，且AC经过坐标原点O，请按要求完成下列各题．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）写出点B关于y轴对称的点B1的坐标；
（3）计算△AB1C的面积；
知识点3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
平面直角坐标系中的轴对称变换
计算———计算已知图形特殊点对称点的坐标（注意特殊点一定要能确定原图形）
描点———根据对称的坐标描点
连接———依次连接所描各点得到成轴对称的图形
【新知导学】
例3-1．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（-1，2），则这条直线为 _____．
【对应导练】
1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（-4，5），C（-1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内完善平面直角坐标系；
（2）点B坐标是 _____，点C1坐标是 _____；
（3）求△A1B1C1的面积．
2．已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a,0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
二、题型训练
1.利用对称点的坐标特征求字母的值
1.点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
2.若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
3 .若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
2.利用全等变换在网格中作图
4．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
(1)画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)点A的对应点A1的坐标是 ，点B的对应点B1的坐标是 ，点C的对应点C1的坐标是 ；
(3)若△ABP与△ABC全等，△ABP的顶点P在第四象限内，且不与C重合，则P的坐标是 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，若点P1（m,n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 _____．
6．在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为_____；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为_____；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为_____；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，-1），点Q的坐标为_____．
3.利用全等变换在坐标系中作图
7 .如图所示，△ABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）
(1)直接写出点A的坐标A（ ， ）；
(2)画出△ABC关于轴对称的；
(3)在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积．
8 .如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
9 .已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2016的值．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．点P（-5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）
A. （-5，-3） B. （5，3）
C. （5，-3） D. （3，-5 ）
2．点（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，3） B. （-2，-3） C. （2，3） D. （2，-3）
3．已知点P1（-4，3），P2（-4，-3），则P1和P2满足（ ）
A. P1P2∥x轴 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. P1P2=8
4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，1）和点B（n,m）关于x轴对称，则nm的值是（ ）
A. -3 B.
C. 3 D. -
5．已知点A（m,2024）与点B（2023，n）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'，若点P（2，3）在△ABC的边上，则点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（ ）
A. （3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
7．已知点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点M，G（如图），连AM，AG．若BC=26m+13n.则△AMG的周长为（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
8．如图，在平面直角坐标xOy中，∠A=90°，OA=2，OB平分∠AOx,点B（a-1，a-2）关于x轴的对称点是（ ）
A. （-2，1） B. （3，-2） C. （2，-1） D. （3，-1）
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．已知点A（-2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x=1对称，则B的坐标为 _____．
10．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB=90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 _____．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为（﹣1，1），将P点关于A对称得到P1，将P1关于O点对称得到P2，将P2关于C点对称得到P3，将P3关于B点对称得到P4，将P4关于A点对称得到P5，……，按照顺序以此类推，则P2023的坐标为 ．
12．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有_____种补法．
．
13．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为 _____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知点A（a,3），B（-4，b），试根据下列条件分别求出a,b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；
（2）AB∥x轴，且线段AB=3．
15．（8分）已知点A（2a-b,5+a），B（2b-1，-a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a,b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2019的值．
16．（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD=5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（-2，-2），判断△ABC的形状，并说明理由．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），过（3，0）点作x轴的垂线l,点A与点B关于直线对称；
（1）点B的坐标为 _____；
（2）点C的坐标为（6，0），顺次连接OABC，若在四边形OABC内部有一个点P，满足S△POA=S△PBC，且S△PAB=S△POC，求点P的坐标；
（3）在四边形外部是否存在点Q，满足S△QOA=S△QBC，且S△QAB=S△QOC，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-4，2），C（-2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2；
（4）直接写出点B1，B2的坐标．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.2 .2 坐标平面内的轴对称
学习目标
1.能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2.掌握点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习重点】点关于x轴，y轴对称的特征。
【学习难点】会作关于x轴，y轴对称的图形
老师告诉你
1.两点关于x轴对称，其坐标“横等纵反”，两点关于y轴对称，其坐标“横反纵等”
2.点平移的变化规律：“上加下减”“左减右加”，即上下平移，其纵坐标“上加下减”，横坐标不变，左右平移，其横坐标“左减右加”，坐标轴不变。
知识点拨
知识点1. 关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标（a,b），则它关于x轴的对称点的坐标为(a-b)，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【新知导学】
例1-1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)4;(2)（4，-3）;
【解析】（1）利用割补法求三角形的面积即可；
（2）根据关于x轴对称的点的性质即可得答案；
（3）设点P的坐标为（0，m），则S△ABP=4，求出m的值，即可得出答案．
解：（1）△ABC的面积为4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4；
故答案为：4；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（4，-3）；
故答案为：（4，-3）；
（3）设点P的坐标为（0，m），
∴S△ABP=AP×2=4，
∴AP=4，
∴|m-1|=4，
∴m=5或-3，
∴点P的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，-4），按要求解下列问题：
（1）写出点C关于x轴的对称点C'的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）根据“关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变”即可解决问题；
（2）利用割补法即可计算三角形面积．
解：（1）由题意可知，点C的坐标为（3，2），
故点C关于x轴的对称点C'的坐标为（3，-2）；
（2）△ABC 的面积为：
3×[3-（-4）]---
=3×7---
=21--6
=10．
2．已知点P（m,n）且m,n满足（2m-6）2+|n+2|=0，试求点P关于x轴对称的点的坐标．
【解析】首先根据绝对值以及偶次方的性质得出m,n的值，再利用关于x轴对称点的坐标性质得出答案．
解：∵（2m-6）2+|n+2|=0，
∴2m-6=0，n+2=0，
解得：m=3，n=-2，
∴P（3，-2），
∴点P关于x轴对称的点的坐标为：（3，2）．
3．点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标是 _____．
【答案】（1，3）
【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可．
解：点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
知识点2. 关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
已知P点坐标为（a,b），则它关于轴对称点的坐标为（-a,b），如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【新知导学】
例2-1．蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 _____．
【答案】（-5，3）
【解析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
解：由题意知，图中点A的坐标为（5，3），其关于y轴对称的点B的坐标为（-5，3），
故答案为：（-5，3）．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）若△A1B1C1与△ABC关于y轴的对称，写出点A1，B1，C1的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使点P到A、C两点的距离之和最小（保留作图痕迹）．
【解析】（1）求出AB的长，再求C点到AB的距离，即可求解；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形，即可求点的坐标；
（3）作A点关于x轴的对称点E，连接CE交x轴于点P，P点即为所求．
解：（1）∵A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3），
∴AB=5，
∴S△ABC=×5×3=；
（2）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）；
（3）作A点关于x轴的对称点E，连接CE交x轴于点P，连接AP，
∴AP=EP，
∴AP+PC=EP+PC=EC，此时P到A、C两点的距离之和最小．
2．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．
（1）在图中△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，则C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面积是 _____；
（3）如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是 _____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）;
【解析】（1）根据关于y轴的对称点的坐标特点可得点C1的坐标；
（2）根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据网格和全等三角形的判定即可得到符合条件的点D的坐标．
解：（1）∵点C的坐标为（4，3），△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，
所以点C1的坐标为（-4，3）．
故答案为：-4；3；
（2）△A1B1C1的面积是=3，
故答案为：3；
（3）如图所示：
要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
故答案为：（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
3．如图，平面直角坐标系中，小正方形组成的网格的边长是1，△ABC的三个顶点均在格点上，且AC经过坐标原点O，请按要求完成下列各题．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）写出点B关于y轴对称的点B1的坐标；
（3）计算△AB1C的面积；
【解析】（1）根据图形直接写出坐标即可；
（2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此作答即可；
（3）利用割补法即可求解；
（4）运用勾股定理求出AB2=12+22=5，BC2=32+42=25，AC2=22+42=20，再利用勾股定理的逆定理即可证明．
解：（1）结合图形可得：A（-1，2）；B（-3，1）；C（1，-2）；
（2）∵关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，B（-3，1），
∴B1（3，1）；
（3）如图，
△AB1C的面积=
=16-2-3-4
=16-9
=7；
知识点3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
平面直角坐标系中的轴对称变换
计算———计算已知图形特殊点对称点的坐标（注意特殊点一定要能确定原图形）
描点———根据对称的坐标描点
连接———依次连接所描各点得到成轴对称的图形
【新知导学】
例3-1．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（-1，2），则这条直线为 _____．
【答案】x=0
【解析】根据轴对称的性质解决问题即可．
解：∵A（1，2），B（-1，2）是纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴A，B关于y轴对称，
∴这条直线是x=0．
故答案为：x=0．
【对应导练】
1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（-4，5），C（-1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内完善平面直角坐标系；
（2）点B坐标是 _____，点C1坐标是 _____；
（3）求△A1B1C1的面积．
【答案】(1)（-2，1）;(2)（1，3）;
【解析】（1）根据A（-4，5），C（-1，3）确定原点位置，然后作出坐标系即可；
（2）根据点B的位置写出点B的坐标即可，根据图形可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，即可得到点C1坐标；
（3）分割法求出△A1B1C1的面积即可．
解：（1）如图所示：建立直角坐标系如下，
（2）由图可知，B（-2，1），
∵A（-4，5），A1（4，5），B1（2，1），
∴△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，如图，
∴C1（1，3）；
故答案为：（-2，1），（1，3）；
（3）△A1B1C1的面积为．
2．已知点A1（2，5）关于y轴的对称点A2，关于原点的对称点A3
（1）求△A1A2A3的面积；
（2）如果将△A1A2A3沿着直线y=-5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．
【解析】（1）作出△A1A2A3，然后代入面积公式进行运算即可；
（2）关于y=-5对称的两点，横坐标相等，纵坐标之和为2×（-5），由此可得出各点的坐标．
解：（1）如图所示：
关于y轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，则点A2坐标为（-2，5）；
关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数，则A3坐标为（-2，-5）；
则S△A1A2A3=×4×10=20．
（2）点A1（2，5）关于y=-5对称的点B1的坐标为（2，-15）；
点A2（-2，5）关于y=-5对称的点B2的坐标为（-2，-15）；
点A3（-2，-5）关于y=-5对称的点B3的坐标为（-2，-5）；
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a,0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【解析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可得出PP2的长．
解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（-a,0），
∴P1（a,0），
又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，
设P2（x,0），可得：=3，即x=6-a,
∴P2（6-a,0），
则PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．
二、题型训练
1.利用对称点的坐标特征求字母的值
1.点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
则a+b的值是：﹣5．
故选：B．
2.若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从而求出a，b，得出点P的坐标．
【解答】解：根据题意得：
解得：
∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）．
故选：D．
3 .若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是1，
∴直线为：x＝1，
∵点P（a，5）在第二象限，
∴a到1的距离为：1﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：1﹣a+1＝2﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（2﹣a，5）．
故选：B．
2.利用全等变换在网格中作图
4．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
(1)画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)点A的对应点A1的坐标是 ，点B的对应点B1的坐标是 ，点C的对应点C1的坐标是 ；
(3)若△ABP与△ABC全等，△ABP的顶点P在第四象限内，且不与C重合，则P的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)（﹣3，3），（3，﹣3），（﹣1，﹣3）
(3)（3，﹣1）
【分析】（1）依据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，即可得到A1，B1，C1的坐标；
（3）依据全等三角形的性质，即可得到P的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
；
（2）解：A1，B1，C1的坐标分别是（-3，3），（3，-3），（-1，-3）．
故答案为：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）．
（3）解：如图，△ABC≌△BAP，且点P在第四象限．
∴P（3，-1）．
故答案为：（3，-1）．
【点睛】本题主要考查了运用轴对称变换进行作图以及坐标确定位置的运用，解决问题的关键是掌握画一个图形的轴对称图形的方法，画图时先从确定一些特殊的对称点开始．还考查了全等三角形的判定和性质．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，若点P1（m,n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 _____．
【答案】（m,2-n）
【解析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1，再写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于直线y=1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到A1、B1、C1对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（3）根据关于直线y=1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可．
解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求，
∴点C1的坐标为（-3，-3）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由题意得，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线y=1对称，
∴若点P1（m,n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是P2（m,2-n），
故答案为：（m,2-n）．
6．在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．
（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为_____；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为_____；
（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为_____；
（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，-1），点Q的坐标为_____．
【答案】(1)（-2，5）;(2)（-3，3）;(3)（1，-4）;(4)（-1，-1）;
【解析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）分别作出A，B，C对应点A3，B3，C3即可，作出对应点连线段的垂直平分线的交点Q即可解决问题．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，那么C的对应点C1的坐标为（-2，5）P，点P的坐标为（-3，3）．
故答案为（-2，5），（-3，3）．
（2）△A2B2C2如图所示，那么点B的对应点B2的坐标为（1，-4）．
故答案为（1，-4）．
（3）△A3B3C3即为所求，Q（-1，-1），
故答案为（-1，1）．
3.利用全等变换在坐标系中作图
7 .如图所示，△ABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）
(1)直接写出点A的坐标A（ ， ）；
(2)画出△ABC关于轴对称的；
(3)在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积．
【答案】(1)A（ -2，3）
(2)见解析
(3)3.5
【分析】(1)根据坐标与象限的关系，确定坐标即可．
(2)确定A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，再确定(2，3)， (5，2)， (1，1)，依次连接即可．
(3) 利用构造矩形后用分割法计算面积．
(4) 先确定点A关于y轴的对称点，连接对称点与点C，与y轴的交点即为所求．
【详解】（1）根据题意，得点A在第二象限，
∴A(-2，3)，
故答案为：-2，3．
（2）如图，∵A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，
∴它们关于y轴的对称点，依次为(2，3)， (5，2)， (1，1)，
∴顺次连接 ， ， ，
则即为所求．
（3）如图，补形矩形DEF，
∴的面积为：4×2-
=．
【点睛】本题考查了坐标与象限，点关于y轴对称，坐标系中图形面积的计算，线段和最小的构造法，熟练掌握点的对称点的坐标特点，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
8 .如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）（4，3）；（3）；
【详解】
（1）△A1B1C1如图所示．
(2)点C1的坐标为(4，3)．
(3)S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.
9 .已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2016的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴ ，
解得；
（2）∵A，B关于y轴对称，
∴，
解得，
所以，（4a+b）2016=[4×（﹣1）+3]2016=1
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．点P（-5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）
A. （-5，-3） B. （5，3）
C. （5，-3） D. （3，-5 ）
【答案】A
【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
解：点P（-5，3）关于x轴对称点P的坐标为（-5，-3），
故选：A．
2．点（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，3） B. （-2，-3） C. （2，3） D. （2，-3）
【答案】B
【解析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
解：点（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是：（-2，-3）．
故选：B．
3．已知点P1（-4，3），P2（-4，-3），则P1和P2满足（ ）
A. P1P2∥x轴 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. P1P2=8
【答案】C
【解析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
解：∵点P1（-4，3），P2（-4，-3），
∴P1和P2满足关于x轴对称．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，1）和点B（n,m）关于x轴对称，则nm的值是（ ）
A. -3 B.
C. 3 D. -
【答案】B
【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得n、m的值，进而可得nm的值．
解：∵点点A（3，1）和点B（n,m）关于x轴对称，
∴n=3，m=-1，
∴nm=3-1=，
故选：B．
5．已知点A（m,2024）与点B（2023，n）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案．
解：∵点A（m,2024）与点B（2023，n）关于x轴对称，
∴m=2023，n=-2024，
∴m+n=2023-2024=-1．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'，若点P（2，3）在△ABC的边上，则点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（ ）
A. （3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
【答案】C
【解析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
解：∵△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，点P（2，3）在△ABC的边上，
∴点P在△A'B'C'上的对应点P'的坐标是（2，-3）．
故选：C．
7．已知点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点M，G（如图），连AM，AG．若BC=26m+13n.则△AMG的周长为（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
【答案】D
【解析】先根据点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，求出m和n的值，即可求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质定理证明AM=BM，AG=GC，那么△AMG的周长就转化为BC的长．
解：∵点P（2m+3n,2）与点Q（6，3m-2n）关于x轴对称，
∴2m+3n=6，3m-2n=-2，
解得m=，n=，
∴BC=26m+13n=12+22=34，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点M，G，
∴AM=BM，AG=GC，
∴BC=BM+MG+GC=AM+MG+AG=34，
∴△AMG的周长为34．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标xOy中，∠A=90°，OA=2，OB平分∠AOx,点B（a-1，a-2）关于x轴的对称点是（ ）
A. （-2，1） B. （3，-2） C. （2，-1） D. （3，-1）
【答案】C
【解析】过B点作BC⊥x轴于点C，则△OAB≌△OCB，即OC=OA，写出B点坐标，最后求出关于x轴的对称点的坐标．
解：如图，过B点作BC⊥x轴于点C，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠OCB=90°．
∵OB平分∠AOx,
∴∠AOB=∠BOC．
又∵OB=OB，
∴△OAB≌△OCB，
∴OC=OA，
即：a-1=2，
解得：a=3，
∴B（2，1），
∴B（2，1）关于x轴的对称点是（2，-1）．
故选C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．已知点A（-2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x=1对称，则B的坐标为 _____．
【答案】（4，3）
【解析】根据轴对称的性质可知A，B两点到直线x=1的距离相等，据此可解决问题．
解：因为A，B两点关于直线x=1对称，
所以A，B两点的纵坐标相等，
则yB=yA=3；
A，B两点到直线x=1的距离相等，
则1-（-2）=xB-1，
所以xB=4，
则点B的坐标为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
10．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB=90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 _____．
【答案】（0，3）
【解析】利用轴对称的性质可得出AD=AC=8，∠CAB=∠DAB，再通过平行线得出∠ABO=∠CAB，进而得出∠ABO=∠DAB，最后利用等角对等边，结合勾股定理即可解决问题．
解：因为∠ACB=90°，OB∥AC，
所以∠OBC=90°，
又因为∠BOA=90°，
所以四边形BOAC是矩形．
因为点C的坐标为（4，8），
所以AC=8，BC=4，
所以BD=BC=4，AD=AC=8．
因为点D和点C关于AB成轴对称，
所以∠CAB=∠DAB，
又因为OB∥AC，
所以∠OBA=∠CAB，
所以∠OBA=∠DAB，
所以BE=AE．
令BE=AE=x,
则DE=8-x.
在△BDE中，
BD2+DE2=BE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
所以BE=5，
所以OE=8-5=3，
即点E的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为（﹣1，1），将P点关于A对称得到P1，将P1关于O点对称得到P2，将P2关于C点对称得到P3，将P3关于B点对称得到P4，将P4关于A点对称得到P5，……，按照顺序以此类推，则P2023的坐标为 ．
【分析】探究规律，利用规律求解即可．
【解答】解：如图，由题意P（﹣1，1），P1（1，3），P2（﹣1，﹣3），P3（5，3），P4（﹣1，1），
∴P4与P重合，四次一个循环，
∵2023÷4＝505…3，
∴P2023与P3重合，
∴P2023（5，3）．
故答案为：（5，3）．
12．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有_____种补法．
【答案】4
【解析】根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案．
解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
．
故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为 _____．
【答案】（-1，-2）
【解析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505余2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知点A（a,3），B（-4，b），试根据下列条件分别求出a,b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；
（2）AB∥x轴，且线段AB=3．
【解析】（1）直接利用关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案；
（2）利用平行于x轴时，纵坐标相同，进而结合两点之间距离求法得出答案．
解：（1）∵点A（a,3），B（-4，b），A，B两点关于y轴对称，
∴b=3，a=4；
（2）∵点A（a,3），B（-4，b），AB∥x轴，且线段AB=3，
∴b=3，|a-（-4）|=3或|-4-a|=3，
解得：a=-1或-7．
15．（8分）已知点A（2a-b,5+a），B（2b-1，-a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a,b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2019的值．
【解析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴，
解得．
（2）∵点A，B关于y轴对称，
∴，
解得，
∴（4a+b）2019=[4×（-1）+3]2019=-1．
16．（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 _____；
（2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为 _____；
（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)4;(2)（4，-3）;
【解析】（1）利用割补法求三角形的面积即可；
（2）根据关于x轴对称的点的性质即可得答案；
（3）设点P的坐标为（0，m），则S△ABP=4，求出m的值，即可得出答案．
解：（1）△ABC的面积为4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4；
故答案为：4；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（4，-3）；
故答案为：（4，-3）；
（3）设点P的坐标为（0，m），
∴S△ABP=AP×2=4，
∴AP=4，
∴|m-1|=4，
∴m=5或-3，
∴点P的坐标为（0，5）或（0，-3）．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD=5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（-2，-2），判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】（1）直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD=5，可得点A的坐标；
（2）根据△ABC关于直线l对称，可得BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，根据点C的坐标，可得AE=CE=3，所以∠CAE=∠C=45°，所以∠BAC=90°，即可得出结论．
解：（1）∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD=5，
∴点A的坐标为（-5，1）；
（2）△ABC为等腰直角三角形，
理由：如图，设直线l与BC交于点E，
∵△ABC关于直线l对称，
∴BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，
∵点C的坐标为（-2，-2），
∴点E的坐标为（-2，1），
∴AE=CE=3，
∴∠CAE=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），过（3，0）点作x轴的垂线l,点A与点B关于直线对称；
（1）点B的坐标为 _____；
（2）点C的坐标为（6，0），顺次连接OABC，若在四边形OABC内部有一个点P，满足S△POA=S△PBC，且S△PAB=S△POC，求点P的坐标；
（3）在四边形外部是否存在点Q，满足S△QOA=S△QBC，且S△QAB=S△QOC，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（4，4）
【解析】（1）观察图象，根据点的位置写出坐标即可；
（2）设P（m,0）．G构建方程求解即可；
（3）设Q（3，t），构建方程求解即可．
解：（1）图形如图所示，B（4，4）．
故答案为：（4，4）；
（2）∵S△POA=S△PBC，
∴点P在对称轴l上，
设P（3，m），
∵S△PAB=S△POC，
∴×2×（4-m）=×6×m,
∴m=1，
∴P（3，1）；
（3）存在．
理由：∵S△QOA=S△QBC，
∴点Q在对称轴l上，
设P（3，t），
∵S△QAB=S△QOC，
∴×2×（4-t）=×6×（-t），
∴t=-2，
∴Q（3，-2）．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-4，2），C（-2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2；
（4）直接写出点B1，B2的坐标．
【解析】（1）根据题意找出三个点，依次连接即可；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（4）根据图象写出坐标即可．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
（4）B1（-4，-2），B2（4，-2）．
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