人教版八年级数学上名师点拨精练第13章轴对称13.3.1 等腰三角形性质（含解析）
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第13章轴对称13.3.1 等腰三角形性质（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 08:41:19 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
老师告诉你
等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：（1）已知等腰三角形底边上的中线、则它平分顶角、垂直于底边；（2）已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；（3）已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边、平分顶角。
等腰三角形“三线合一”的性质的作用：常常可以用来证明角相等、线段相等、线段垂直。
知识点拨
知识点1 等腰三角形边角性质
1 .等腰三角形
定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形边角性质
等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B＝∠C （等边对等角）.
【新知导学】
例1-1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
【对应导练】
1．如图，在中，D为BC边上一点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
2．已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O.
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_____________.
答案：63°或27°
4．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为___________.
知识点2：等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（2）∵AB=AC , BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【新知导学】
例2-1 .如图，在中，，是的中点，于．求证：．
【对应导练】
1．如图，在等腰三角形ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，试说明：.
2．如图,在中,已知是上一点,.求证:
(1);
(2).
3．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是 .
二、题型训练
1.利用等腰三角形性质证明角相等
1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．
2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F．
（1）试说明：△BDF≌△CDA；
（2）若DF＝DG，则：
①BE平分∠ABC吗？请说明理由；
②线段BF与CE有何数量关系，请说明理由．
3．已知：如图，AB＝AD，BD平分∠ABC，求证：ADBC．
2.利用等腰三角形的性质求角度
4．如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，求证：．
5．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线．
（1）若∠B=54°，求∠BAD的度数．
（2）若AB=5，BC=6，AD=4，将△ABC沿中线AD剪开，将△ABD与△ACD拼成一个与△ABC面积相等的四边形，直接写出所拼得的所有四边形的周长．
3.利用等腰三角形性质解决边角问题
7．已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
9．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
2．等腰三角形一边长是6，另一边长是12，则周长是（ ）
A. 24 B. 30 C. 24或30 D. 18
3．等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A. 40°，40° B. 80°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或80°，20°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，D为BC边中点，则∠CAD等于（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
5．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A. 16 B. 20
C. 16或20 D. 以上都不对
6．如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB=AC，连接OB，记∠C=α，∠CBO=β，则α，β满足的关系式为（ ）
A. 2β-α=90° B. 2β-α=180°
C. β+α=90° D. 2a-β=90°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC=（ ）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
8．如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△CDE，此时点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠CBE的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 75° D. 85°
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=7cm,BC=12cm,点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在△ABC外部的点B′处，则图形中阴影部分的周长为 _____cm.
10．顶角为80°的等腰三角形的底角为 _____．
11．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B=_____．
12．如图，已知∠A=15°，AB=BC=CD，那么∠BCD=_____度．
13．如图，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD=16°，则∠BAC=_____°．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
15．（7分）如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
16．（8分）如图，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
（1）请你用尺规作图的方法作∠EAC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
17．（8分）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB=AC．
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度数．
18．（8分）如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
19 .（9分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
老师告诉你
等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：（1）已知等腰三角形底边上的中线、则它平分顶角、垂直于底边；（2）已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；（3）已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边、平分顶角。
等腰三角形“三线合一”的性质的作用：常常可以用来证明角相等、线段相等、线段垂直。
知识点拨
知识点1 等腰三角形边角性质
1 .等腰三角形
定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形边角性质
等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B＝∠C （等边对等角）.
【新知导学】
例1-1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
答案：B
解析：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.
故选：B.
点评：根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
【对应导练】
1．如图，在中，D为BC边上一点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图，，，.，.，，，，.
点评：利用等腰三角形性质等边对等角，结合三角形内角和求出它的度数即可。
2．已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O.
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论.
答案：发现：，理由见详解
探索：是等腰三角形，理由见详解
拓展：，理由见详解（或者AF平分，证明过程同的证明过程）
解析：发现：
，理由如下：
，
，
又，，
，
又有，
，
，
得证；
探索：
是等腰三角形，理由如下：
在“发现”中已经证得，
，
有，即是等腰三角形，
得证；
拓展：
，
理由如下：
如图：
在“探索”中已经证得，
又，，
，
，
平分，
又，，
，
，
.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_____________.
答案：63°或27°
解析：有两种情况：
（1）如图当是锐角三角形时，于D，则，
，
.
，
.
（2）如图，当是钝角三角形时，于H，则，
，
，
.
，
.
4．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为___________.
答案：50°或80°
解析：由等腰三角形的一个外角为130°知一个内角为50°.当50°为顶角时，其他两个角都为65°；当50°为底角时，其他两个角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°.
知识点2：等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（2）∵AB=AC , BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【新知导学】
例2-1 .如图，在中，，是的中点，于．求证：．
【答案】解：∵在中，，
∴为等腰三角形，
∵是的中点，
∴为的中线，
由“三线合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，
设AD与BE交于F点，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，
∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，
∴∠BAC=2∠EBC．
【解析】【分析】 利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即得∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，设AD与BE交于F点， 由垂直的定义可得 ∠AEB=∠ADB=90°， 利用三角形外角的性质可得∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，即得∠DBE=∠DAE，即得∠BAC=2∠EBC．
【对应导练】
1．如图，在等腰三角形ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，试说明：.
答案：因为，AD是BC边上的中线，
所以.
所以AD是BC的垂直平分线，所以.
所以.
又因为，所以.
所以，即.
2．如图,在中,已知是上一点,.求证:
(1);
(2).
答案：(1),,
又，，.
在和中，，
.
(2)由(1)知，.
又，(等腰三角形“三线合一”).
3．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
答案：B
解析：连接.
∵是中点，
∴，，
∵,，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
∵
，
∴，
∴，
故答案为：6.
4．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是 .
答案：
解析：如图，连接.
，平分，是的垂直平分线
又是的垂直平分线，点O是三边垂直平分线的交点，
，.
又，.
垂直平分，，，.
二、题型训练
1.利用等腰三角形性质证明角相等
1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．
【答案】详见解析.
【解析】可先利用“AAS”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.
证明：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC.
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴EB=EC.
∵F是BC中点，
∴∠BEF=∠CEF.
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键.
2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F．
（1）试说明：△BDF≌△CDA；
（2）若DF＝DG，则：
①BE平分∠ABC吗？请说明理由；
②线段BF与CE有何数量关系，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①BE平分∠ABC，理由见解析；②EC=BF，理由见解析
【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，由DH是BC的垂直平分线推出BD=DC，根据AAS即可证△BDF≌△CDA；
（2）①由DF=DG，可得∠DFB=∠BGH，而CD⊥AB，有∠ABE+∠DFB=90°，由DH⊥BC，得∠GBH+∠BGH=90°，从而∠ABE=∠GBH，BE平分∠ABC；
②由BD=CD，CD⊥AB，得△BCD是等腰直角三角形，即得∠ABE=∠CBE=22.5°，从而可得∠A=∠C=67.5°，有AB=CB，故AE=CE=AC，即可得EC=BF．
【小问1详解】
解：证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵DH是BC的垂直平分线，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（AAS）；
【小问2详解】
①BE平分∠ABC，理由如下：
∵DF=DG，
∴∠DFB=∠DGF，
∴∠DFB=∠BGH，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠DFB=90°，
∵DH⊥BC，
∴∠GBH+∠BGH=90°，
∴∠ABE=∠GBH，
∴BE平分∠ABC；
②EC=BF，理由是：
∵由（1）知：BD=CD，△BDF≌△CDA，
而CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，AC=BF，
∴∠ABC=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠A=∠C=67.5°，
∴AB=CB，
∴AE=CE=AC，
∵BF=AC，
∴EC=BF．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及等腰三角形性质及应用、全等三角形判定及应用、垂直平分线性质等知识，解题的关键是证明△BDF≌△CDA．
3．已知：如图，AB＝AD，BD平分∠ABC，求证：ADBC．
【答案】见解析
【解析】根据等腰三角形的两底角相等，在根据角平分线的定义，等量代换出一组内错角相等，从而证明得出结论．
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴ADBC
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，以及平行线的判定；综合知识点推理得出内错角相等是本题的关键．
2.利用等腰三角形的性质求角度
4．如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°，进而利用直角三角形的内角和解答即可；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质判定解答．
【小问1详解】
解：∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵BF⊥AC于点F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝90° 36°＝54°；
【小问2详解】
∵BA＝BC，BF⊥AC于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵DEBC，
∴∠E＝∠FBC，
∴∠E＝∠ABF，
∴DB＝DE．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°解答．
5．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线．
（1）若∠B=54°，求∠BAD的度数．
（2）若AB=5，BC=6，AD=4，将△ABC沿中线AD剪开，将△ABD与△ACD拼成一个与△ABC面积相等的四边形，直接写出所拼得的所有四边形的周长．
【解析】（1）根据SSS判定△ABD≌△ACD，得到∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余，即可解决问题；
（3）画出拼接后的图形即可解决问题．
解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-54°=36°．
（2）周长为：14或16或18．
理由如下：如图，构成的四边形有三种情形．
①当拼得四边形为ADBE时，周长为2（3+4）=14；
②当拼得四边形为ABDF时，周长为2（3+5）=16；
③当拼得四边形为ABGD时，周长为2（5+4）=18，
即周长为：14或16或18．
3.利用等腰三角形性质解决边角问题
7．已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【解析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
【解析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
9．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
【解析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=∠ABC．
解：（1）∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C=90°-25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°．
（2）连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=∠ABC．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度数．
解：∵∠ABC=∠ACB=65°．
∴∠A=50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=50°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．
故选：B．
2．等腰三角形一边长是6，另一边长是12，则周长是（ ）
A. 24 B. 30 C. 24或30 D. 18
【答案】B
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为6时，6+6=12，所以不能构成三角形；
当腰为12时，6+12＞12，所以能构成三角形，周长是：12+12+6=30．
故选：B．
3．等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A. 40°，40° B. 80°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或80°，20°
【答案】A
【解析】先根据平角等于180°求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等求解．
解：∵等腰三角形的一个外角等于80°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-80°=100°，
∴100°的内角是顶角，
（180°-100°）=40°，
∴另两个内角是40°，40°．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，D为BC边中点，则∠CAD等于（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】根据等腰三角形的性质可得到AD是BC边的垂线，再根据直角三角形的性质可求∠DAC的度数．
解：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°-70°=20°．
故选：B．
5．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A. 16 B. 20
C. 16或20 D. 以上都不对
【答案】A
【解析】分AB为腰和底两种情况列出方程，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
解：当AB边为腰时，由题意可得AB+AB+AB=40，解得AB=16，此时三角形的三边为16、16、8，满足三角形的三边关系，此时AB为16，
当AB边为底时，由题意可得AB+AB+AB=40，解得AB=20，此时三角形的三边为20、10、10，不满足三角形的三边关系，所以此种情况不存在，
综上可知AB为16．
故选：A．
6．如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB=AC，连接OB，记∠C=α，∠CBO=β，则α，β满足的关系式为（ ）
A. 2β-α=90° B. 2β-α=180°
C. β+α=90° D. 2a-β=90°
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AB=AC，∠ACB=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
∴∠CAB=180°-2α，
连接OC，OA，
∵O为等腰三角形ABC的外心，
∴OB=OA=OC，
∴∠CBO=∠BCO=β，
∴∠ABO=∠ACO=α-β，
∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α-β，
∴∠CAB=2（α-β）=180°-2α，
∴2a-β=90°，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC=（ ）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
【答案】B
【解析】由已知条件可求出∠CAB的度数，根据旋转的性质可得△ACD为等边三角形，可求出∠BAD、∠ADC的度数以及得到AB=AD，进而求出∠ADB的度数，由角的和差关系可得∠BDC的度数．
解：由旋转得：AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴AB=AD，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAB=180°-2∠ACB=40°，∠BAD=∠CAD-∠CAB=60°-40°=20°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-20°）÷2=80°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=80°-60°=20°．
故选：B．
8．如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△CDE，此时点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠CBE的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 75° D. 85°
【答案】C
【解析】由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=30°，由旋转的性质可得∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°，CB=CE，即可求解．
解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
由旋转性质知，∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°，CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE=75°，
故选：C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=7cm,BC=12cm,点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在△ABC外部的点B′处，则图形中阴影部分的周长为 _____cm.
【答案】26
【解析】根据折叠的性质及等腰三角形的性质求解即可．
解：根据折叠的性质得，AB=AB′，BE=B′E，
图形中阴影部分的周长为AC+CE+AB′+B′E=BE+CE+AC+AB=BC+AC+AB，
∵AB=7cm,BC=12cm,AB=AC，
∴BC+AC+AB=26（cm），
∴图形中阴影部分的周长为26cm,
故答案为：26．
10．顶角为80°的等腰三角形的底角为 _____．
【答案】50°
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行解答即可．
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴这个等腰三角形的底角=（180°-80°）=50°．
故答案为：50°．
11．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B=_____．
【答案】65°或25°
【解析】根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=∠DAB=25°．
故答案为65°或25°．
12．如图，已知∠A=15°，AB=BC=CD，那么∠BCD=_____度．
【答案】120
【解析】由AB=BC可知∠BCA=∠A=15°，由三角形外角性质得∠CBD=∠A+∠BCD=30°，再由BC=CD可知，△BCD为等腰三角形，由内角和定理求∠BCD．
解：∵AB=BC，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠A+∠BCD=30°，
又∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D=30°，
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠D=120°．
故答案为：120．
13．如图，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD=16°，则∠BAC=_____°．
【答案】37
【解析】根据翻转变换的性质得到CB=CD，∠ACB=∠ACD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：由折叠的性质可知，CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵∠CBD=16°，CB=CD，
∴∠DCB=180°-16°×2=148°，
∴∠ACB=∠ACD==106°，
∵CA=CB，
∴∠BAC==37°，
故答案为：37．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
【解析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；
（2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．
解：（1）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-70°×2=40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°，
故∠CAD度数为20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM=∠CAD，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=NM，
∴△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN，
∵AB=8，BN=3，
∴△BMN的周长=8+3=11．
故△BMN的周长为11．
15．（7分）如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，由三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，于是得到∠C=2∠B，根据三角形的内角和得到∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，根据得到结论．
解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=16°．
16．（8分）如图，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
（1）请你用尺规作图的方法作∠EAC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）利用基本作图作AD平分∠EAC；
（2）利用AD平分∠EAC得到∠EAD=∠CAD，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，然后根据三角形外角性质证明∠DAC=∠C，从而可判断AD∥BC．
解：（1）如图，AD为所作；
（2）AD∥BC．
理由如下：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠EAC=∠B+∠C，
∴∠DAC=∠C，
∴AD∥BC．
17．（8分）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB=AC．
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度数．
【解析】（1）根据题意可得∠BAD=∠CAD，即可根据SAS证明△ABD≌△ACD，即可得出BD=CD；
（2）先求出．再根据三角形的外角定理得出∠BDA=∠MBD-∠BAD=50°．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出
∠CDA=∠BDA=50°．
解：（1）相等．理由如下：
∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴BD=CD．
（2）∵∠BAC=140°，
∴．
又∵∠MBD=120°，
∴∠BDA=∠MBD-∠BAD=120°-70°=50°．
∵△ABD≌△ACD，
∴∠CDA=∠BDA=50°．
18．（8分）如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
19 .（9分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，理由见解析；（3）30°
【分析】（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．证出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得．
（3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°，
利用（2）的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题．
【解析】（1）证明：如图1中，
∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
故答案为∠ABC-∠ACB=2∠ADE
（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
老师告诉你
等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：（1）已知等腰三角形底边上的中线、则它平分顶角、垂直于底边；（2）已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；（3）已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边、平分顶角。
等腰三角形“三线合一”的性质的作用：常常可以用来证明角相等、线段相等、线段垂直。
知识点拨
知识点1 等腰三角形边角性质
1 .等腰三角形
定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形边角性质
等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B＝∠C （等边对等角）.
【新知导学】
例1-1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
【对应导练】
1．如图，在中，D为BC边上一点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
2．已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O.
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_____________.
答案：63°或27°
4．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为___________.
知识点2：等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（2）∵AB=AC , BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【新知导学】
例2-1 .如图，在中，，是的中点，于．求证：．
【对应导练】
1．如图，在等腰三角形ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，试说明：.
2．如图,在中,已知是上一点,.求证:
(1);
(2).
3．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是 .
二、题型训练
1.利用等腰三角形性质证明角相等
1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．
2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F．
（1）试说明：△BDF≌△CDA；
（2）若DF＝DG，则：
①BE平分∠ABC吗？请说明理由；
②线段BF与CE有何数量关系，请说明理由．
3．已知：如图，AB＝AD，BD平分∠ABC，求证：ADBC．
2.利用等腰三角形的性质求角度
4．如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，求证：．
5．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线．
（1）若∠B=54°，求∠BAD的度数．
（2）若AB=5，BC=6，AD=4，将△ABC沿中线AD剪开，将△ABD与△ACD拼成一个与△ABC面积相等的四边形，直接写出所拼得的所有四边形的周长．
3.利用等腰三角形性质解决边角问题
7．已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
9．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
2．等腰三角形一边长是6，另一边长是12，则周长是（ ）
A. 24 B. 30 C. 24或30 D. 18
3．等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A. 40°，40° B. 80°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或80°，20°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，D为BC边中点，则∠CAD等于（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
5．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A. 16 B. 20
C. 16或20 D. 以上都不对
6．如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB=AC，连接OB，记∠C=α，∠CBO=β，则α，β满足的关系式为（ ）
A. 2β-α=90° B. 2β-α=180°
C. β+α=90° D. 2a-β=90°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC=（ ）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
8．如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△CDE，此时点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠CBE的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 75° D. 85°
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=7cm,BC=12cm,点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在△ABC外部的点B′处，则图形中阴影部分的周长为 _____cm.
10．顶角为80°的等腰三角形的底角为 _____．
11．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B=_____．
12．如图，已知∠A=15°，AB=BC=CD，那么∠BCD=_____度．
13．如图，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD=16°，则∠BAC=_____°．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
15．（7分）如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
16．（8分）如图，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
（1）请你用尺规作图的方法作∠EAC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
17．（8分）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB=AC．
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度数．
18．（8分）如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
19 .（9分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
老师告诉你
等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：（1）已知等腰三角形底边上的中线、则它平分顶角、垂直于底边；（2）已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；（3）已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边、平分顶角。
等腰三角形“三线合一”的性质的作用：常常可以用来证明角相等、线段相等、线段垂直。
知识点拨
知识点1 等腰三角形边角性质
1 .等腰三角形
定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形边角性质
等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B＝∠C （等边对等角）.
【新知导学】
例1-1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
答案：B
解析：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.
故选：B.
点评：根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
【对应导练】
1．如图，在中，D为BC边上一点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图，，，.，.，，，，.
点评：利用等腰三角形性质等边对等角，结合三角形内角和求出它的度数即可。
2．已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O.
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论.
答案：发现：，理由见详解
探索：是等腰三角形，理由见详解
拓展：，理由见详解（或者AF平分，证明过程同的证明过程）
解析：发现：
，理由如下：
，
，
又，，
，
又有，
，
，
得证；
探索：
是等腰三角形，理由如下：
在“发现”中已经证得，
，
有，即是等腰三角形，
得证；
拓展：
，
理由如下：
如图：
在“探索”中已经证得，
又，，
，
，
平分，
又，，
，
，
.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_____________.
答案：63°或27°
解析：有两种情况：
（1）如图当是锐角三角形时，于D，则，
，
.
，
.
（2）如图，当是钝角三角形时，于H，则，
，
，
.
，
.
4．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为___________.
答案：50°或80°
解析：由等腰三角形的一个外角为130°知一个内角为50°.当50°为顶角时，其他两个角都为65°；当50°为底角时，其他两个角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°.
知识点2：等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
★用符号语言表示为：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（2）∵AB=AC , BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【新知导学】
例2-1 .如图，在中，，是的中点，于．求证：．
【答案】解：∵在中，，
∴为等腰三角形，
∵是的中点，
∴为的中线，
由“三线合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，
设AD与BE交于F点，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，
∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，
∴∠BAC=2∠EBC．
【解析】【分析】 利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即得∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，设AD与BE交于F点， 由垂直的定义可得 ∠AEB=∠ADB=90°， 利用三角形外角的性质可得∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，即得∠DBE=∠DAE，即得∠BAC=2∠EBC．
【对应导练】
1．如图，在等腰三角形ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，试说明：.
答案：因为，AD是BC边上的中线，
所以.
所以AD是BC的垂直平分线，所以.
所以.
又因为，所以.
所以，即.
2．如图,在中,已知是上一点,.求证:
(1);
(2).
答案：(1),,
又，，.
在和中，，
.
(2)由(1)知，.
又，(等腰三角形“三线合一”).
3．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
答案：B
解析：连接.
∵是中点，
∴，，
∵,，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
∵
，
∴，
∴，
故答案为：6.
4．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是 .
答案：
解析：如图，连接.
，平分，是的垂直平分线
又是的垂直平分线，点O是三边垂直平分线的交点，
，.
又，.
垂直平分，，，.
二、题型训练
1.利用等腰三角形性质证明角相等
1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．
【答案】详见解析.
【解析】可先利用“AAS”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.
证明：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC.
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴EB=EC.
∵F是BC中点，
∴∠BEF=∠CEF.
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键.
2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F．
（1）试说明：△BDF≌△CDA；
（2）若DF＝DG，则：
①BE平分∠ABC吗？请说明理由；
②线段BF与CE有何数量关系，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①BE平分∠ABC，理由见解析；②EC=BF，理由见解析
【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，由DH是BC的垂直平分线推出BD=DC，根据AAS即可证△BDF≌△CDA；
（2）①由DF=DG，可得∠DFB=∠BGH，而CD⊥AB，有∠ABE+∠DFB=90°，由DH⊥BC，得∠GBH+∠BGH=90°，从而∠ABE=∠GBH，BE平分∠ABC；
②由BD=CD，CD⊥AB，得△BCD是等腰直角三角形，即得∠ABE=∠CBE=22.5°，从而可得∠A=∠C=67.5°，有AB=CB，故AE=CE=AC，即可得EC=BF．
【小问1详解】
解：证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵DH是BC的垂直平分线，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（AAS）；
【小问2详解】
①BE平分∠ABC，理由如下：
∵DF=DG，
∴∠DFB=∠DGF，
∴∠DFB=∠BGH，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠DFB=90°，
∵DH⊥BC，
∴∠GBH+∠BGH=90°，
∴∠ABE=∠GBH，
∴BE平分∠ABC；
②EC=BF，理由是：
∵由（1）知：BD=CD，△BDF≌△CDA，
而CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，AC=BF，
∴∠ABC=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠A=∠C=67.5°，
∴AB=CB，
∴AE=CE=AC，
∵BF=AC，
∴EC=BF．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及等腰三角形性质及应用、全等三角形判定及应用、垂直平分线性质等知识，解题的关键是证明△BDF≌△CDA．
3．已知：如图，AB＝AD，BD平分∠ABC，求证：ADBC．
【答案】见解析
【解析】根据等腰三角形的两底角相等，在根据角平分线的定义，等量代换出一组内错角相等，从而证明得出结论．
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴ADBC
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，以及平行线的判定；综合知识点推理得出内错角相等是本题的关键．
2.利用等腰三角形的性质求角度
4．如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°，进而利用直角三角形的内角和解答即可；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质判定解答．
【小问1详解】
解：∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵BF⊥AC于点F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝90° 36°＝54°；
【小问2详解】
∵BA＝BC，BF⊥AC于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵DEBC，
∴∠E＝∠FBC，
∴∠E＝∠ABF，
∴DB＝DE．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°解答．
5．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线．
（1）若∠B=54°，求∠BAD的度数．
（2）若AB=5，BC=6，AD=4，将△ABC沿中线AD剪开，将△ABD与△ACD拼成一个与△ABC面积相等的四边形，直接写出所拼得的所有四边形的周长．
【解析】（1）根据SSS判定△ABD≌△ACD，得到∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余，即可解决问题；
（3）画出拼接后的图形即可解决问题．
解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-54°=36°．
（2）周长为：14或16或18．
理由如下：如图，构成的四边形有三种情形．
①当拼得四边形为ADBE时，周长为2（3+4）=14；
②当拼得四边形为ABDF时，周长为2（3+5）=16；
③当拼得四边形为ABGD时，周长为2（5+4）=18，
即周长为：14或16或18．
3.利用等腰三角形性质解决边角问题
7．已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【解析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
【解析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
9．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
【解析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=∠ABC．
解：（1）∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C=90°-25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°．
（2）连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=∠ABC．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度数．
解：∵∠ABC=∠ACB=65°．
∴∠A=50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=50°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．
故选：B．
2．等腰三角形一边长是6，另一边长是12，则周长是（ ）
A. 24 B. 30 C. 24或30 D. 18
【答案】B
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为6时，6+6=12，所以不能构成三角形；
当腰为12时，6+12＞12，所以能构成三角形，周长是：12+12+6=30．
故选：B．
3．等腰三角形的一个外角等于80°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A. 40°，40° B. 80°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或80°，20°
【答案】A
【解析】先根据平角等于180°求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等求解．
解：∵等腰三角形的一个外角等于80°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-80°=100°，
∴100°的内角是顶角，
（180°-100°）=40°，
∴另两个内角是40°，40°．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，D为BC边中点，则∠CAD等于（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】根据等腰三角形的性质可得到AD是BC边的垂线，再根据直角三角形的性质可求∠DAC的度数．
解：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°-70°=20°．
故选：B．
5．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A. 16 B. 20
C. 16或20 D. 以上都不对
【答案】A
【解析】分AB为腰和底两种情况列出方程，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
解：当AB边为腰时，由题意可得AB+AB+AB=40，解得AB=16，此时三角形的三边为16、16、8，满足三角形的三边关系，此时AB为16，
当AB边为底时，由题意可得AB+AB+AB=40，解得AB=20，此时三角形的三边为20、10、10，不满足三角形的三边关系，所以此种情况不存在，
综上可知AB为16．
故选：A．
6．如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB=AC，连接OB，记∠C=α，∠CBO=β，则α，β满足的关系式为（ ）
A. 2β-α=90° B. 2β-α=180°
C. β+α=90° D. 2a-β=90°
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AB=AC，∠ACB=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
∴∠CAB=180°-2α，
连接OC，OA，
∵O为等腰三角形ABC的外心，
∴OB=OA=OC，
∴∠CBO=∠BCO=β，
∴∠ABO=∠ACO=α-β，
∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α-β，
∴∠CAB=2（α-β）=180°-2α，
∴2a-β=90°，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC=（ ）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
【答案】B
【解析】由已知条件可求出∠CAB的度数，根据旋转的性质可得△ACD为等边三角形，可求出∠BAD、∠ADC的度数以及得到AB=AD，进而求出∠ADB的度数，由角的和差关系可得∠BDC的度数．
解：由旋转得：AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴AB=AD，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAB=180°-2∠ACB=40°，∠BAD=∠CAD-∠CAB=60°-40°=20°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-20°）÷2=80°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=80°-60°=20°．
故选：B．
8．如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△CDE，此时点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠CBE的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 75° D. 85°
【答案】C
【解析】由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=30°，由旋转的性质可得∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°，CB=CE，即可求解．
解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
由旋转性质知，∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°，CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE=75°，
故选：C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=7cm,BC=12cm,点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在△ABC外部的点B′处，则图形中阴影部分的周长为 _____cm.
【答案】26
【解析】根据折叠的性质及等腰三角形的性质求解即可．
解：根据折叠的性质得，AB=AB′，BE=B′E，
图形中阴影部分的周长为AC+CE+AB′+B′E=BE+CE+AC+AB=BC+AC+AB，
∵AB=7cm,BC=12cm,AB=AC，
∴BC+AC+AB=26（cm），
∴图形中阴影部分的周长为26cm,
故答案为：26．
10．顶角为80°的等腰三角形的底角为 _____．
【答案】50°
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行解答即可．
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴这个等腰三角形的底角=（180°-80°）=50°．
故答案为：50°．
11．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B=_____．
【答案】65°或25°
【解析】根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=∠DAB=25°．
故答案为65°或25°．
12．如图，已知∠A=15°，AB=BC=CD，那么∠BCD=_____度．
【答案】120
【解析】由AB=BC可知∠BCA=∠A=15°，由三角形外角性质得∠CBD=∠A+∠BCD=30°，再由BC=CD可知，△BCD为等腰三角形，由内角和定理求∠BCD．
解：∵AB=BC，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠A+∠BCD=30°，
又∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D=30°，
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠D=120°．
故答案为：120．
13．如图，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD=16°，则∠BAC=_____°．
【答案】37
【解析】根据翻转变换的性质得到CB=CD，∠ACB=∠ACD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：由折叠的性质可知，CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵∠CBD=16°，CB=CD，
∴∠DCB=180°-16°×2=148°，
∴∠ACB=∠ACD==106°，
∵CA=CB，
∴∠BAC==37°，
故答案为：37．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
【解析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；
（2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．
解：（1）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-70°×2=40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°，
故∠CAD度数为20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM=∠CAD，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=NM，
∴△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN，
∵AB=8，BN=3，
∴△BMN的周长=8+3=11．
故△BMN的周长为11．
15．（7分）如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，由三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，于是得到∠C=2∠B，根据三角形的内角和得到∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，根据得到结论．
解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=16°．
16．（8分）如图，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
（1）请你用尺规作图的方法作∠EAC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）利用基本作图作AD平分∠EAC；
（2）利用AD平分∠EAC得到∠EAD=∠CAD，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，然后根据三角形外角性质证明∠DAC=∠C，从而可判断AD∥BC．
解：（1）如图，AD为所作；
（2）AD∥BC．
理由如下：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠EAC=∠B+∠C，
∴∠DAC=∠C，
∴AD∥BC．
17．（8分）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB=AC．
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度数．
【解析】（1）根据题意可得∠BAD=∠CAD，即可根据SAS证明△ABD≌△ACD，即可得出BD=CD；
（2）先求出．再根据三角形的外角定理得出∠BDA=∠MBD-∠BAD=50°．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出
∠CDA=∠BDA=50°．
解：（1）相等．理由如下：
∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴BD=CD．
（2）∵∠BAC=140°，
∴．
又∵∠MBD=120°，
∴∠BDA=∠MBD-∠BAD=120°-70°=50°．
∵△ABD≌△ACD，
∴∠CDA=∠BDA=50°．
18．（8分）如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
19 .（9分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，理由见解析；（3）30°
【分析】（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．证出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得．
（3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°，
利用（2）的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题．
【解析】（1）证明：如图1中，
∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
故答案为∠ABC-∠ACB=2∠ADE
（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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