人教版八年级数学上名师点拨精练第13章轴对称13.3.1 等腰三角形的判定（含解析）
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第13章轴对称13.3.1 等腰三角形的判定（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 08:40:52 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形的判定
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.
难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
老师告诉你
构造等腰三角形的四种方法
用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
用“角平分线+垂线”构造等腰三角形
用线段的垂直平分线构造等腰三角形
用三角形中角的二倍关系构造等腰三角形
知识点拨
知识点1 等腰三角形的判定
判定方法
（1）等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【新知导学】
例1-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE=CF，BF=BE．求证：△ABC是等腰三角形．
2．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
3．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
4．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形．
知识点2 等腰三角形性质判定综合
解题技巧提炼
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
解决与等腰三角形相关的探究题时，主要是综合运用等腰三角形的性质和判定，有时会用到分类讨论的思想来解决问题.
【新知导学】
例2-1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE//AB，与AC的延长线交于点E．求证：△CDE是等腰三角形．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一点，且BD=AD，DC=AC，请指出图中的等腰三角形，并求∠B的度数．
2．如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB．求证：CE=DE．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
4．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．
知识点3 作等腰三角形
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【新知导学】
例3-1．下面是作等腰三角形的尺规作图过程： 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据
是 .
【对应导练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、题型训练
1.利用等腰三角形的判定证明线段相等
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．求证：AE=DE．
2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
3．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD=AE；
（2）若∠DCE=25°，求∠B的度数．
2.利用等腰三角形的判定求角度
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B=∠DEF；
（3）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．若∠BAC=22°，求∠AFE的度数．
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
3.利用等腰三角形的判定和性质判断线段的数量关系
7．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
8．如图△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠B=40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. 三个角的度数之比是2：2：1
2．如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
3．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
6．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm,则CD等于（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm
7．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周长是18，则AB+AC=（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
8．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．已知：如图△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____．
10．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离 _____nmile.
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
12．下面是作等腰三角形的尺规作图过程：
已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据是_____．
13．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使直角顶点C与AB的延长线上的点D重合．给出以下结论：①∠CBE=60°；②BE=CD；③△ACD是等腰三角形；④CD⊥BE；⑤A、C、E可能不共线．其中正确结论的序号是 _____．
三、解答题(共6题)
14．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，∠ABD=∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．
15．（9分）在3×5的网格中，小正方形的顶点称为格点，如图，A，B是格点，画等腰△ABC，使点C是格点，且分别满足下列条件：
（1）AC=AB（画在图①中）；
（2）∠ACB=45°（画在图②中）；
（3）以AB为底且（画在图③中）．
16．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
18．（8分）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于F，
求证：（1）BE平分∠ABC
（2）AB=BC+AD
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形的判定
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.
难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
老师告诉你
构造等腰三角形的四种方法
用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
用“角平分线+垂线”构造等腰三角形
用线段的垂直平分线构造等腰三角形
用三角形中角的二倍关系构造等腰三角形
知识点拨
2.知识点梳理
知识点1 等腰三角形的判定
判定方法
（1）等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【新知导学】
例1-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
【答案】见解析
【解析】由是中点可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论．
解：∵是中点
∴
在和中
∴
∴
∴,即是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得是解答本题的关键．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE=CF，BF=BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】求出∠CBF=90°，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB=CB，再根据等腰三角形的判定推出即可．
证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形．
2．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
【解析】（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE=∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
3．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【解析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形．
4．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形．
【解析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A=∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD=BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．
证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°．
∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠D．
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF．
∴∠A=∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
知识点2 等腰三角形性质判定综合
解题技巧提炼
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
解决与等腰三角形相关的探究题时，主要是综合运用等腰三角形的性质和判定，有时会用到分类讨论的思想来解决问题.
【新知导学】
例2-1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE//AB，与AC的延长线交于点E．求证：△CDE是等腰三角形．
【解析】根据等腰三角形的性质得到AB=AC，求得∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠ABC=∠CDE，于是得到结论．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠CDE，
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=∠CDE，
∴△CDE是等腰三角形．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一点，且BD=AD，DC=AC，请指出图中的等腰三角形，并求∠B的度数．
【解析】利用等腰三角形的判定可证明△ABD、△ABC、△ACD都是等腰三角形，在△ADC中利用三角形内角和定理可求得∠B．
解：
∵AB=AC，BD=AD，DC=AC，
∴△ABD、△ABC、△ACD都是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴AD=BD，
∴∠ADC=2∠B，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠CAD=2∠B，
在△ACD中，由三角形内角和可得5∠B=180°，
解得∠B=36°．
2．如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB．求证：CE=DE．
【解析】根据垂直定义求出∠ADE=∠ACB，根据等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ADC，根据角的和差求出∠ECD=∠EDC，根据等腰三角形的判定即可得解．
证明：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
【解析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由ED⊥BC得出∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，即可得出∠BAD=∠DAC，根据”两直线平行同位角相等“和”两直线平行内多角相等“可得出∠BAD=∠AFE，∠E=∠DAC，从而得出∠E=∠AFE，即可得出AE=AF．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠BDF=∠CDF=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠BAD=∠AFE，∠DAC=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF．
4．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．
【解析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．
证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
∴AD=DF，AB=AF，
∵AE⊥BD，
∴BE=EF=BF，
∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，
∴AC=2BE．
知识点3 作等腰三角形
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【新知导学】
例3-1．下面是作等腰三角形的尺规作图过程： 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据
是 .
【分析】根据线段垂直平分线的性质解决问题．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， 根据线段垂直平分线的性质得CA=CB．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【对应导练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD即为所求作．
【详解】解：如图，线段BD即为所求作．
【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．掌握角平分线的定义以及尺规作角平分线是解答本题的关键．
2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图，C为格点，为等腰三角形，
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
综上：这样的点C有8个，
故选D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，分类讨论，数形结合的思想是解题的关键．
二、题型训练
1.利用等腰三角形的判定证明线段相等
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．求证：AE=DE．
【解析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，根据角平分线定义求出∠DCB，根据平行线求出∠EAB=72°，根据三角形内角和定理求出∠ADE=72°，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=72°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=∠ACB=36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠B=72°，
∵∠B=72°，∠DCB=36°，
∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
【解析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由ED⊥BC得出∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，即可得出∠BAD=∠DAC，根据”两直线平行同位角相等“和”两直线平行内多角相等“可得出∠BAD=∠AFE，∠E=∠DAC，从而得出∠E=∠AFE，即可得出AE=AF．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠BDF=∠CDF=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠BAD=∠AFE，∠DAC=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF．
3．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD=AE；
（2）若∠DCE=25°，求∠B的度数．
【解析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得DE=DC，进而可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B=∠EDB=2∠BCE=50°．
（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，
∴，
∵DG垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴CD=AE；
（2）解：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠BCE+∠DEC=2∠BCE=50°，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠BCE=25°，
∴∠B=50°．
2.利用等腰三角形的判定求角度
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B=∠DEF；
（3）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【解析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC=∠BDE，∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B即可得出结论；
（3）由（2）知∠DEF=∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B，
∴∠DEF=∠B，
∴AB=AC，∠A=40°，
∴∠DEF=∠B==70°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．若∠BAC=22°，求∠AFE的度数．
【解析】根据旋转的性质，推出∠BFE=22°，∠EBF=68°，△BAF是等腰三角形，进而求出∠BFA的度数，利用∠BFA-∠BFE即可求出∠AFE的度数．
解：如图：
∵△ACB旋转90°得到△FEB，
∴∠C=∠BEF，∠CAB=∠EFB，∠CBA=∠EBF，AB=BF，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BAC=22°，
∴∠CBA=68°，
∴∠BFE=22°，∠EBF=68°，
∵AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∵∠ABF=68°，
∴，
∴∠AFE=∠BFA-∠BFE=56°-22°=34°．
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【答案】（1）25°；小；
（2）DC=2，理由见解答过程；
（3）110°或80°．
【解析】（1）根据三角形内角和定理计算求出∠BAD，根据点D从点B向点C运动可以得出∠BDA逐渐变小；
（2）当DC=2时，AB=DC，根据∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE即可；
（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【小问1详解】
解：∵∠B=40°，∠BDA=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-115°-40°=25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
【小问2详解】
当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB=2，
∴AB=DC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【小问3详解】
当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，理由如下：
当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；
当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∴∠DAE=100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
3.利用等腰三角形的判定和性质判断线段的数量关系
7．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，再根据等角对等边可得结论；
（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE．
8．如图△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
【解析】先根据两直线平行内错角相等及角平分线定义，得到∠OBE=∠EOB，根据等角对等边得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．
解：EF=BE+CF，
理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠B=40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. 三个角的度数之比是2：2：1
【答案】D
【解析】根据选项中△ABC三个角的关系，利用三角形的内角和定理可分别求出△ABC三个角的度数，进而根据等腰三角形的判定可得出答案．
解：对于选项A，
∵∠B=40°，∠C=80°
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°，
故选项A不能判定△ABC为等腰三角形；
对于选项B，
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
可设∠A=k,∠B=2k,∠C=3k,
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴k+2k+3k=180°，
解得：k=30°，
∴∠A=k=30°，∠B=2k=60°，∠C=3k=90°，
故选项B不能判定△ABC为等腰三角形；
对于选项C，
∵2∠A=∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
此时不能确定∠B和∠C的度数，无法判定△ABC的形状，
故选项C不能判定△ABC为等腰三角形；
对于选项D，
∵三个角的度数之比是2：2：1，
不妨假设∠A：∠B：∠C=2：2：1，
可设∠A=2k,∠B=2k,∠C=k,
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2k+2k+2=180°，
解得：k=36°，
∴∠A=2k=72°，∠B=2k=72°，∠C=k=36°，
∵∠A=∠B，
∴△ABC为等腰三角形，
故选项D可以判定△ABC为等腰三角形．
故选：D．
2．如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
3．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】根据“两圆一线”画图找点即可．
解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，
故选：C．
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】由等腰三角形的判定可得答案．
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC=∠C=36°，∠BAD=108°-36°=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BDA=180°-36°-72°=72°，
∴∠BAD=∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB=72°，
∴∠BDF=∠ADF=36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
【答案】C
【解析】求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．
解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF=AC=8cm,
故选：C．
6．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm,则CD等于（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm
【答案】A
【解析】根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=3cm.
故选：A．
7．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周长是18，则AB+AC=（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】D
【解析】由角平分线定义得到∠MBO=∠OBC，由平行线的性质推出∠MOB=∠OBC，得到∠MBO=∠MOB，推出MO=MB，同理ON=NC，即可得到MN=MB+NC因此△AMN的周长=AM+AN+MN=AB+AC，据此求解即可．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MO=MB，
同理ON=NC，
∴OM+ON=MB+NC，
∴MN=MB+NC，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC，
∵△AMN的周长是18，
∴AB+AC=18，
故选：D．
8．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可．
解：如图所示：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面积=△DPC的面积，
∵△BPC的面积=10（cm2），
∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2），
∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2），
∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2），
故选：A．
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．已知：如图△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____．
【答案】70°或40°或20°
【解析】分三种情形分别求解即可；
解：如图，有三种情形：
①当AC=AD时，∠ACD=70°．
②当CD′=AD′时，∠ACD′=40°．
③当AC=AD″时，∠ACD″=20°，
故答案为70°或40°或20°
10．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离 _____nmile.
【答案】40
【解析】根据题意可得：AB=40海里，然后利用三角形的外角性质进行计算可得：∠ACB=∠NAC=42°，从而利用等角对等边可得AB=BC=40海里，即可解答．
解：由题意得：AB=（10-8）×20=40（海里），
∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠ACB=∠NAC=42°，
∴AB=BC=40海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离40海里，
故答案为：40．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，
∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，就可证得CE=点E到AB的距离=3cm，再证明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的长。
12．下面是作等腰三角形的尺规作图过程：
已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据是_____．
【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【解析】根据线段垂直平分线的性质解决问题．
解：由作法得MN垂直平分AB，
根据线段垂直平分线的性质得CA=CB．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
13．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使直角顶点C与AB的延长线上的点D重合．给出以下结论：①∠CBE=60°；②BE=CD；③△ACD是等腰三角形；④CD⊥BE；⑤A、C、E可能不共线．其中正确结论的序号是 _____．
【答案】①③④
【解析】依据旋转的性质以及等腰三角形的性质进行推算，即可得出正确的结论．
解：把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使直角顶点C与AB的延长线上的点D重合，
∴∠ABC=60°=∠DBE，∠ABD=180°，
∴∠CBE=180°-2×60°=60°，故①正确；
由旋转可得，BC=BD，
∴∠ADC=∠ABC=30°=∠A，
∴CD=AC＜AB，故③正确；
又∵BE=AB，
∴CD＜BE，故②错误；
∵BC=BD，∠BDE=∠CBE，
∴BE⊥CD（三线合一），故④正确；
如图所示，连接CE，
∵CD=AC=DE，∠CDE=90°-30°=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACE=120°+60°=180°，
∴A、C、E三点共线，故⑤错误；
故答案为：①③④．
三、解答题(共6题)
14．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，∠ABD=∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据角的和差得出∠DBC=∠DCB，即可根据“等角对等边”得解．
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，
即∠DBC=∠DCB，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰三角形．
15．（9分）在3×5的网格中，小正方形的顶点称为格点，如图，A，B是格点，画等腰△ABC，使点C是格点，且分别满足下列条件：
（1）AC=AB（画在图①中）；
（2）∠ACB=45°（画在图②中）；
（3）以AB为底且（画在图③中）．
【解析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）作等腰直角三角形ABC即可（AB=BC，∠ABC=90°）；
（3）构造腰长为5的等腰三角形即可．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）解：如图②中，△ABC即为所求；
（3）解：如图③中，△ABC即为所求．
16．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．
（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案．
（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
【解析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠DCA=∠DAC，由等腰三角形的判定可得结论成立；
（2）证明Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质得到AE=AB，根据线段垂直平分线的判定即可得到AC垂直平分BE．
证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形；
（2）∵AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB，∠CEA=∠CBA=90°，
又∵AC=AC，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
18．（8分）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
【解析】（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个以BC为公共边的三角形与△ABC全等．
解：（1）如图甲中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图乙中，△CBE即为所求（答案不唯一）．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于F，
求证：（1）BE平分∠ABC
（2）AB=BC+AD
【解析】（1）证明△ADE≌△FCE 得AE=FE，再由垂直平分线的性质得BA=BF，最后由等腰三角形的三线合一定理得结论；
（2）由全等三角形得AD=CF，再BA=BF，得结论．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E为CD中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE （AAS），
∴AE=EF，
又∵BE⊥AE，
∴BA=BF，
∴BE平分∠ABC；
（2）由（1）知 AB=BF，
∵BF=BC+CF，
∴AB=BC+CF，
∵△ADE≌△FCE，
∵AD=CF，
∴AB=BC+AD．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形的判定
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.
难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
老师告诉你
构造等腰三角形的四种方法
用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
用“角平分线+垂线”构造等腰三角形
用线段的垂直平分线构造等腰三角形
用三角形中角的二倍关系构造等腰三角形
知识点拨
知识点1 等腰三角形的判定
判定方法
（1）等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【新知导学】
例1-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE=CF，BF=BE．求证：△ABC是等腰三角形．
2．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
3．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
4．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形．
知识点2 等腰三角形性质判定综合
解题技巧提炼
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
解决与等腰三角形相关的探究题时，主要是综合运用等腰三角形的性质和判定，有时会用到分类讨论的思想来解决问题.
【新知导学】
例2-1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE//AB，与AC的延长线交于点E．求证：△CDE是等腰三角形．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一点，且BD=AD，DC=AC，请指出图中的等腰三角形，并求∠B的度数．
2．如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB．求证：CE=DE．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
4．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．
知识点3 作等腰三角形
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【新知导学】
例3-1．下面是作等腰三角形的尺规作图过程： 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据
是 .
【对应导练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、题型训练
1.利用等腰三角形的判定证明线段相等
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．求证：AE=DE．
2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
3．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD=AE；
（2）若∠DCE=25°，求∠B的度数．
2.利用等腰三角形的判定求角度
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B=∠DEF；
（3）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．若∠BAC=22°，求∠AFE的度数．
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
3.利用等腰三角形的判定和性质判断线段的数量关系
7．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
8．如图△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠B=40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. 三个角的度数之比是2：2：1
2．如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
3．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
6．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm,则CD等于（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm
7．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周长是18，则AB+AC=（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
8．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．已知：如图△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____．
10．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离 _____nmile.
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
12．下面是作等腰三角形的尺规作图过程：
已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据是_____．
13．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使直角顶点C与AB的延长线上的点D重合．给出以下结论：①∠CBE=60°；②BE=CD；③△ACD是等腰三角形；④CD⊥BE；⑤A、C、E可能不共线．其中正确结论的序号是 _____．
三、解答题(共6题)
14．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，∠ABD=∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．
15．（9分）在3×5的网格中，小正方形的顶点称为格点，如图，A，B是格点，画等腰△ABC，使点C是格点，且分别满足下列条件：
（1）AC=AB（画在图①中）；
（2）∠ACB=45°（画在图②中）；
（3）以AB为底且（画在图③中）．
16．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
18．（8分）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于F，
求证：（1）BE平分∠ABC
（2）AB=BC+AD
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.1 等腰三角形的判定
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
重点：理解和运用等腰三角形的判定定理.
难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
老师告诉你
构造等腰三角形的四种方法
用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
用“角平分线+垂线”构造等腰三角形
用线段的垂直平分线构造等腰三角形
用三角形中角的二倍关系构造等腰三角形
知识点拨
2.知识点梳理
知识点1 等腰三角形的判定
判定方法
（1）等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【新知导学】
例1-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
【答案】见解析
【解析】由是中点可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论．
解：∵是中点
∴
在和中
∴
∴
∴,即是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得是解答本题的关键．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE=CF，BF=BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】求出∠CBF=90°，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB=CB，再根据等腰三角形的判定推出即可．
证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形．
2．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
【解析】（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE=∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
3．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【解析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形．
4．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形．
【解析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A=∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD=BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．
证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°．
∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠D．
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF．
∴∠A=∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
知识点2 等腰三角形性质判定综合
解题技巧提炼
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
解决与等腰三角形相关的探究题时，主要是综合运用等腰三角形的性质和判定，有时会用到分类讨论的思想来解决问题.
【新知导学】
例2-1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE//AB，与AC的延长线交于点E．求证：△CDE是等腰三角形．
【解析】根据等腰三角形的性质得到AB=AC，求得∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠ABC=∠CDE，于是得到结论．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠CDE，
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=∠CDE，
∴△CDE是等腰三角形．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一点，且BD=AD，DC=AC，请指出图中的等腰三角形，并求∠B的度数．
【解析】利用等腰三角形的判定可证明△ABD、△ABC、△ACD都是等腰三角形，在△ADC中利用三角形内角和定理可求得∠B．
解：
∵AB=AC，BD=AD，DC=AC，
∴△ABD、△ABC、△ACD都是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴AD=BD，
∴∠ADC=2∠B，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠CAD=2∠B，
在△ACD中，由三角形内角和可得5∠B=180°，
解得∠B=36°．
2．如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB．求证：CE=DE．
【解析】根据垂直定义求出∠ADE=∠ACB，根据等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ADC，根据角的和差求出∠ECD=∠EDC，根据等腰三角形的判定即可得解．
证明：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
【解析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由ED⊥BC得出∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，即可得出∠BAD=∠DAC，根据”两直线平行同位角相等“和”两直线平行内多角相等“可得出∠BAD=∠AFE，∠E=∠DAC，从而得出∠E=∠AFE，即可得出AE=AF．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠BDF=∠CDF=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠BAD=∠AFE，∠DAC=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF．
4．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．
【解析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．
证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
∴AD=DF，AB=AF，
∵AE⊥BD，
∴BE=EF=BF，
∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，
∴AC=2BE．
知识点3 作等腰三角形
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【新知导学】
例3-1．下面是作等腰三角形的尺规作图过程： 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据
是 .
【分析】根据线段垂直平分线的性质解决问题．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， 根据线段垂直平分线的性质得CA=CB．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【对应导练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD即为所求作．
【详解】解：如图，线段BD即为所求作．
【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．掌握角平分线的定义以及尺规作角平分线是解答本题的关键．
2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图，C为格点，为等腰三角形，
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
综上：这样的点C有8个，
故选D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，分类讨论，数形结合的思想是解题的关键．
二、题型训练
1.利用等腰三角形的判定证明线段相等
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．求证：AE=DE．
【解析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，根据角平分线定义求出∠DCB，根据平行线求出∠EAB=72°，根据三角形内角和定理求出∠ADE=72°，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=72°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=∠ACB=36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠B=72°，
∵∠B=72°，∠DCB=36°，
∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点E在CA的延长线上，EF∥AD．求证：AE=AF．
【解析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由ED⊥BC得出∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，即可得出∠BAD=∠DAC，根据”两直线平行同位角相等“和”两直线平行内多角相等“可得出∠BAD=∠AFE，∠E=∠DAC，从而得出∠E=∠AFE，即可得出AE=AF．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠BDF=∠CDF=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠BAD=∠AFE，∠DAC=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF．
3．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD=AE；
（2）若∠DCE=25°，求∠B的度数．
【解析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得DE=DC，进而可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B=∠EDB=2∠BCE=50°．
（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，
∴，
∵DG垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴CD=AE；
（2）解：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠BCE+∠DEC=2∠BCE=50°，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠BCE=25°，
∴∠B=50°．
2.利用等腰三角形的判定求角度
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B=∠DEF；
（3）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【解析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC=∠BDE，∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B即可得出结论；
（3）由（2）知∠DEF=∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B，
∴∠DEF=∠B，
∴AB=AC，∠A=40°，
∴∠DEF=∠B==70°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．若∠BAC=22°，求∠AFE的度数．
【解析】根据旋转的性质，推出∠BFE=22°，∠EBF=68°，△BAF是等腰三角形，进而求出∠BFA的度数，利用∠BFA-∠BFE即可求出∠AFE的度数．
解：如图：
∵△ACB旋转90°得到△FEB，
∴∠C=∠BEF，∠CAB=∠EFB，∠CBA=∠EBF，AB=BF，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BAC=22°，
∴∠CBA=68°，
∴∠BFE=22°，∠EBF=68°，
∵AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∵∠ABF=68°，
∴，
∴∠AFE=∠BFA-∠BFE=56°-22°=34°．
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【答案】（1）25°；小；
（2）DC=2，理由见解答过程；
（3）110°或80°．
【解析】（1）根据三角形内角和定理计算求出∠BAD，根据点D从点B向点C运动可以得出∠BDA逐渐变小；
（2）当DC=2时，AB=DC，根据∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE即可；
（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【小问1详解】
解：∵∠B=40°，∠BDA=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-115°-40°=25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
【小问2详解】
当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB=2，
∴AB=DC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【小问3详解】
当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，理由如下：
当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；
当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∴∠DAE=100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
3.利用等腰三角形的判定和性质判断线段的数量关系
7．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，再根据等角对等边可得结论；
（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE．
8．如图△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
【解析】先根据两直线平行内错角相等及角平分线定义，得到∠OBE=∠EOB，根据等角对等边得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．
解：EF=BE+CF，
理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠B=40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. 三个角的度数之比是2：2：1
【答案】D
【解析】根据选项中△ABC三个角的关系，利用三角形的内角和定理可分别求出△ABC三个角的度数，进而根据等腰三角形的判定可得出答案．
解：对于选项A，
∵∠B=40°，∠C=80°
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°，
故选项A不能判定△ABC为等腰三角形；
对于选项B，
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
可设∠A=k,∠B=2k,∠C=3k,
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴k+2k+3k=180°，
解得：k=30°，
∴∠A=k=30°，∠B=2k=60°，∠C=3k=90°，
故选项B不能判定△ABC为等腰三角形；
对于选项C，
∵2∠A=∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
此时不能确定∠B和∠C的度数，无法判定△ABC的形状，
故选项C不能判定△ABC为等腰三角形；
对于选项D，
∵三个角的度数之比是2：2：1，
不妨假设∠A：∠B：∠C=2：2：1，
可设∠A=2k,∠B=2k,∠C=k,
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2k+2k+2=180°，
解得：k=36°，
∴∠A=2k=72°，∠B=2k=72°，∠C=k=36°，
∵∠A=∠B，
∴△ABC为等腰三角形，
故选项D可以判定△ABC为等腰三角形．
故选：D．
2．如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
3．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】根据“两圆一线”画图找点即可．
解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，
故选：C．
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】由等腰三角形的判定可得答案．
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC=∠C=36°，∠BAD=108°-36°=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BDA=180°-36°-72°=72°，
∴∠BAD=∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB=72°，
∴∠BDF=∠ADF=36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
【答案】C
【解析】求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．
解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF=AC=8cm,
故选：C．
6．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm,则CD等于（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm
【答案】A
【解析】根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=3cm.
故选：A．
7．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周长是18，则AB+AC=（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】D
【解析】由角平分线定义得到∠MBO=∠OBC，由平行线的性质推出∠MOB=∠OBC，得到∠MBO=∠MOB，推出MO=MB，同理ON=NC，即可得到MN=MB+NC因此△AMN的周长=AM+AN+MN=AB+AC，据此求解即可．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MO=MB，
同理ON=NC，
∴OM+ON=MB+NC，
∴MN=MB+NC，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC，
∵△AMN的周长是18，
∴AB+AC=18，
故选：D．
8．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可．
解：如图所示：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面积=△DPC的面积，
∵△BPC的面积=10（cm2），
∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2），
∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2），
∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2），
故选：A．
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．已知：如图△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____．
【答案】70°或40°或20°
【解析】分三种情形分别求解即可；
解：如图，有三种情形：
①当AC=AD时，∠ACD=70°．
②当CD′=AD′时，∠ACD′=40°．
③当AC=AD″时，∠ACD″=20°，
故答案为70°或40°或20°
10．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离 _____nmile.
【答案】40
【解析】根据题意可得：AB=40海里，然后利用三角形的外角性质进行计算可得：∠ACB=∠NAC=42°，从而利用等角对等边可得AB=BC=40海里，即可解答．
解：由题意得：AB=（10-8）×20=40（海里），
∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠ACB=∠NAC=42°，
∴AB=BC=40海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离40海里，
故答案为：40．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，
∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，就可证得CE=点E到AB的距离=3cm，再证明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的长。
12．下面是作等腰三角形的尺规作图过程：
已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.
求作这个等腰三角形．
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连接AC，BC，则AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺规作图中判断AC=BC的根据是_____．
【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【解析】根据线段垂直平分线的性质解决问题．
解：由作法得MN垂直平分AB，
根据线段垂直平分线的性质得CA=CB．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
13．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使直角顶点C与AB的延长线上的点D重合．给出以下结论：①∠CBE=60°；②BE=CD；③△ACD是等腰三角形；④CD⊥BE；⑤A、C、E可能不共线．其中正确结论的序号是 _____．
【答案】①③④
【解析】依据旋转的性质以及等腰三角形的性质进行推算，即可得出正确的结论．
解：把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使直角顶点C与AB的延长线上的点D重合，
∴∠ABC=60°=∠DBE，∠ABD=180°，
∴∠CBE=180°-2×60°=60°，故①正确；
由旋转可得，BC=BD，
∴∠ADC=∠ABC=30°=∠A，
∴CD=AC＜AB，故③正确；
又∵BE=AB，
∴CD＜BE，故②错误；
∵BC=BD，∠BDE=∠CBE，
∴BE⊥CD（三线合一），故④正确；
如图所示，连接CE，
∵CD=AC=DE，∠CDE=90°-30°=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACE=120°+60°=180°，
∴A、C、E三点共线，故⑤错误；
故答案为：①③④．
三、解答题(共6题)
14．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，∠ABD=∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据角的和差得出∠DBC=∠DCB，即可根据“等角对等边”得解．
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，
即∠DBC=∠DCB，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰三角形．
15．（9分）在3×5的网格中，小正方形的顶点称为格点，如图，A，B是格点，画等腰△ABC，使点C是格点，且分别满足下列条件：
（1）AC=AB（画在图①中）；
（2）∠ACB=45°（画在图②中）；
（3）以AB为底且（画在图③中）．
【解析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）作等腰直角三角形ABC即可（AB=BC，∠ABC=90°）；
（3）构造腰长为5的等腰三角形即可．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）解：如图②中，△ABC即为所求；
（3）解：如图③中，△ABC即为所求．
16．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．
（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案．
（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
【解析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠DCA=∠DAC，由等腰三角形的判定可得结论成立；
（2）证明Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质得到AE=AB，根据线段垂直平分线的判定即可得到AC垂直平分BE．
证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形；
（2）∵AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB，∠CEA=∠CBA=90°，
又∵AC=AC，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
18．（8分）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
【解析】（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个以BC为公共边的三角形与△ABC全等．
解：（1）如图甲中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图乙中，△CBE即为所求（答案不唯一）．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于F，
求证：（1）BE平分∠ABC
（2）AB=BC+AD
【解析】（1）证明△ADE≌△FCE 得AE=FE，再由垂直平分线的性质得BA=BF，最后由等腰三角形的三线合一定理得结论；
（2）由全等三角形得AD=CF，再BA=BF，得结论．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E为CD中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE （AAS），
∴AE=EF，
又∵BE⊥AE，
∴BA=BF，
∴BE平分∠ABC；
（2）由（1）知 AB=BF，
∵BF=BC+CF，
∴AB=BC+CF，
∵△ADE≌△FCE，
∵AD=CF，
∴AB=BC+AD．
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