2024-2025学年安徽省蚌埠市A层高中高二上学期第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省蚌埠市A层高中高二上学期第一次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是( )
A. B. C. D.
5.已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.抛掷一枚骰子两次．设“第一次向上的点数是”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被整除”为事件，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互为对立事件 B.
C. D. 事件与事件相互不独立
7.已知函数是上的奇函数，则 ( )
A. B. C. D.
8.已知点，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话．某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有道数学问题，满分分在所有的答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是( )
A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有人
B. 图中的值为
C. 估计全校学生成绩的分位数为
D. 估计全校学生成绩的中位数小于平均数
10.如图，棱长为斜三棱柱中，，、分别是、的中点．下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 斜三棱柱五个面中，四边形的面积最大
D. 与所成角为的余弦值为
11.在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：，过圆上任意一点作圆的切线，切点分别为，，，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面四边形中，，，，，则________．
13.直线：和：与轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的的可能取值中的三个________．
14.正四棱柱容器表面厚度和忽略不计底面正方形边长为，在中容器恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
求在上的值域．
16.本小题分
已知直线：与直线：平行，点，
求；
若点关于直线对称后的点为，求点坐标；
已知，分别在直线，上，且，求的最小值．
17.本小题分
如图，正四棱台中，，上为上下底面中心的连线，且与侧面所成的角的正切值为．
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦．
求圆与圆的方程；
若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点．
19.本小题分
三余弦定理：如图，设为平面外一点，过点的斜线在平面上的正投影为直线．为平面上的一条直线，记斜线与正投影线的夹角即与平面所成角为，正投影线与直线的夹角为，斜线与直线的夹角为，则三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
证明三余弦定理；
如图，已知四面体的各条棱长均相等，，分别是棱，的中点．为直线上的一动点，求直线与直线所成角的余弦值的最大值；
如图，已知平行六面体，记平行六面体体积为，表面积为，棱长总和为，求证：．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或或
14.
15.解：由函数的部分图象可知：，
又因为，
即，，
结合函数的单调性可得，
即，，所以，
故
当时，，所以，即

16.，，得或，
经验证：当时，，，
当时，，，，重合，舍去，
设，则由对称性知：，得，即．
由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，
如图，
则直线的方程为：，，
将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点，
过作于，连接，有，，即四边形为平行四边形，则，
即有，显然是直线上的点与点，距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值为．
17.解：
因为平面，以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为与侧面所成的角的正切值为 ，所以，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
令，则，
所以平面的一个法向量为，而，
所以点到平面的距离；
因为，设面的法向量为，
则
令，则，所以面的一个法向量为，
所以，易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．

18.解：因为线段的中点坐标为，
所以圆心、圆心均在直线上．
又因为圆心在直线上，
所以，圆：．
过点且与：垂直的直线方程为，
所以圆心在直线上．
所以，圆：．
证明：如图，点，在轴两侧时，
连接交于点，
则是的中点，且．
易知，．
在中，，．
所以，
在中，，．
所以，，
易知为，的平分线，
所以．
所以．
所以点，在轴同侧时，同理可证．
故以线段为直径的圆恒过定点．
19.证明：如图，引于点，连接，
平面，，平面，，
，、平面，平面，
平面，，
、、均为直角三角形，
，，，
易知，得证
把四面体放入如图所示的正方体，由三余弦定理知，
直线与直线所成角最小值为直线与平面所成的角，连接，由正方体性质知平面，
平面，平面平面，平面平面，
在平面内的正投影为，即直线与平面所成的角为，在中，，
令，得，，
证明：设，，，，，．
由平行六面体的对称性，不妨令，，直线与底面所成角为，
由三余弦定理可得，，即，，
由题意得，
，
，
，
，
，
当且仅当且时等号成立．
即．

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