2024-2025学年陕西省榆林市神木市府谷中学高一（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省榆林市神木市府谷中学高一（上）第一次调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则与的关系可用图表示为( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知关于的不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是( )
A. B. 或
C. 或 D.
6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢篮球或羽毛球，的学生喜欢篮球，的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. B. C. D.
7.已知集合，则下列与相等的集合个数为( )
A. B. C. D.
8.若正数满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10.已知关于的不等式的解集中最多有个整数，则整数的值可以是( )
A. B. C. D.
11.定义，则下列说法正确的是( )
A.
B. 对任意的且
C. 若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是
D. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题，的否定为 ．
13.若，则 ．
14.若对，，使得成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
定义，求．
16.本小题分
设：实数满足，：实数满足．
若时，，至少有一个成立，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，．
求的最小值；
若，求的最小值．
18.本小题分
如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，．
求关于的函数表达式；
为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
19.本小题分
已知集合，若对任意，，都有或，则称集合具有“包容”性．
判断集合和集合是否具有“包容”性；
若集合具有“包容”性，求的值；
若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有个，，试确定集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：因为，
所以，
所以．
因为，且，，
所以．

16.解：由于，则，
所以：，：或，
解不等式组，解得或，
所以：或，：，
由题意，，至少有个成立，考虑，均不成立，
则，得，
所以满足，至少有个成立的实数的取值范围是或；
易知：，，
而或，
所以：或，
由知：或，
设，或，
由于，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．

17.解：因为，，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为；
因为，，，
所以
．
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为．
18.解：海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，，
则两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得；
由知，即，
，，由基本不等式可得，
令，则，解得舍去或，
，当且仅当即，时等号成立，
海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为．
19.解：对于集合，
因为，，
所以集合不具有“包容”性；
对于集合，
因为集合中任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，
所以集合具有“包容”性．
若集合具有“包容”性，令，则，
而，所以，
不妨令，则集合，且，
则，且，
当时，若，得，此时集合具有包容性；
若，得，舍去；若，无解，舍去；
当时，则，由且可知：无解，
所以集合．
故．
不妨设集合，
其中，，，
根据题意，
且，
所以，，或，．
当，时，，
且由，得，
由得：，
所以，，且，
综上可得：集合
当，时，同理可得集合
综上可得，符合条件的集合有个，
分别是，，．
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