2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高一（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高一（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2.下列三角函数值为正数的是( )
A. B. C. D.
3.全集，集合，集合，则为( )
A. B.
C. ， D. ，
4.已知幂函数为奇函数，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.若，，，则它们的大小顺序是( )
A. B. C. D.
6.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线如图，设点，
，连结，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么( )
A. B. C. D.
7.已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是( )
A. B. C. D.
8.已知函数其中若，在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数在定义域内是增函数
B. 函数的增区间是
C. 函数的定义域是
D. 函数在上的最大值为，最小值为
10.函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A. 直线是函数图象的一条对称轴
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的单调递增区间为
D. 将函数的图象向由右平移个单位得到函数的图象
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数为偶函数
B. 函数的值域为
C. 当时，函数的图象关于直线对称
D. 函数的增区间为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.______．
13.函数在区间上的单调减区间是______．
14.若不等式对一切正实数，，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
化简；
若，求、的值；
若，求的值．
17.本小题分
某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求，的取小值．
解：利用基本不等式，得到，
于是
当且仅当时，取到最小值
老师请你模仿例题，研究，的最小值；提示：
研究，上的最小值；
当时，求，的最小值．
18.本小题分
在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面晓颖准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行平板车平板面为矩形，它的宽为米直线分别交直线，于，，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题：
若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；
证明：当时，；
若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？
19.本小题分
已知函数，．
若存在，使得成立，求实数的取值范围；
若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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13.和
14.
15.解：已知集合，．
当时，，，或
又，
；
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又．
或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
16.解：．
因为，所以为第三象限角或第四象限角．
当为第三象限角时，；
当为第四象限角时，．
因为，所以．
，
．
因为，所以．
故．
因此．
17.解：，当且仅当时，取到最小值，
，当且仅当时，取到最小值，
，当且仅当时，取到最小值
18.解：由图可知，，，，，
，；
即，；
证明：，，，
，
又，即，
．
；
解：平板车要想顺利通过直角走廊，则平板车长度，
由，，令，则
，
原函数化为，
即，，则，
函数化为，
在上单调递减，则当时，取得最小值为．
19.解：，，
，即在有解，
令，所以，
当时，；当趋向于或时，趋向于，即．
，即，
令，因为，所以为增函数，
所以，则，
所以，化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数的取值范围为．
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