2024-2025学年陕西省西安八十五中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安八十五中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则等于( )
A. B. C. D.
2.若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，，若，，，则下面结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
4.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 当时，
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
6.已知，且，，则、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
7.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则使成立的充要条件是( )
A. B. C. D.
10.若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
11.下面命题正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，，若，则实数允许取的值有______个
13.若，，求 ______．
14.若正实数，满足，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知，且，证明：．
证明：．
16.已知关于的不等式的解集为，或．
求，的值
当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
17.已知集合，．
当时，求；
已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
18.金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为万元，且每生产台需要另投入成本万元，当年产量不足台时，万元；当年产量不少于台时，万元经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
求年利润万元关于年产量台的函数关系式；
年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
19.设函数若，解关于的不等式．
参考答案
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15.证明：由，且，可知，，
则，，
，，即，
又，，
即；
要证，
需要证，
即证，
也就是证，
即证，
需证，此式显然成立．
故．
16.解：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，
所以，解得
由知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以的取值范围为．
17.解：由已知得，
，
当时，，
所以；
因为“”是“”的必要条件，所以，
若，则，不符合题意；
若即时，，符合题意；
若，则，
所以，
解得，
综上，实数的取值范围为．
18.解：当，时，，
当，时，，
综上可得．
当，时，，
当时，，
当，时，，
当且仅当时，即时，上式取等号，即．
综上，即当年生产台时，该企业年利润的最大值为万元．
19.解：不等式，即，
当时，，
当时，不等式可化为，
而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．．
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