2024-2025学年 云南省昆明市云南大学附中星耀学校高一（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南大学附中星耀学校高一（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.规定用符号表示一个不超过实数的最大整数，例如，按此规定的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.命题“”的否定是( )
A. ， B. ，
C. D.
4.不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
5.设实数，满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，则( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，、分别是、的中点，随着点的运动，线段长( )
A. 保持不变，长度为
B. 保持不变，长度为
C. 不断增大
D. 先增大，后减小
8.构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想，在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以，类比这个方法，计算的值( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D. 或
10.已知集合，，若，，则( )
A.
B. 关于的不等式解集为或
C.
D. 集合
11.设正实数，满足，则下列说法中正确的有( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最大值 D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______．
14.已知集合满足，则集合的个数有______个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若且，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
求值：，其中，．
关于的不等式的解集为，求．
17.本小题分
解答下列各题．
若，求的最小值．
若正数，满足，求的最小值．
18.本小题分
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小，而且这个比值越大，采光效果越好．
若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
19.本小题分
已知函数
设，若关于的不等式的解集为，，且的充分不必要条件是，求的取值范围．
方程有两个实数根、，
若、均大于，试求的取值范围．
若，求实数的值．
参考答案
1.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：由题意，集合，
因为且，
所以，
解得，
综上所述，实数的取值范围为；
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或，无解，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：
，
将，代入得：，
则原式．
原不等式化为，
当，解集为，
当，解集为，
当，解集为，
综上所述：
当时，；
当时，；
当时，．
17.解：因为，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，的最小值为；
由可得，
因此，
当且仅当且时，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
18.解：设这所公寓的客户面积为平方米，则地板面积为平方米，
由题意可得：，解得：．
所以这所公寓的窗户面积至少为平方米．
设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米，
则，
由题意可知，，
，即．
公寓的采光效果变坏了．
19.解：由得，即
得，
又，所以，
即，
的充分不必要条件是，
，
则得得，即实数的取值范围是．
方程为
若、均大于，则满足得，
得，即的取值范围．
若，
则，
则，
即，
，
得或，
得或，
则，即实数的值是．
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