2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 47.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-17 15:04:06 | ||
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文档简介
2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高一（上）第一次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，命题：不等式的解集为，则成立是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.“”是“且”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.不等式的最小整数解是( )
A. B. C. D.
5.已知且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.命题，则是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.若不等式的解集为，则函数的图象可以为( )
A. B. C. D.
8.已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是( )
A. B. C. D.
10.已知正数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最小值是______．
13.不等式：的解为______．
14.某班有学生人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有人已知该班学生每人至少参加了个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，全集
若，求；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，．
当时，求的最小值；
当时，满足恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
根据要求完成下列问题：
要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户如图所示，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？
如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为：为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？
19.本小题分
已知实数集，定义．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求集合；
Ⅲ若中的元素个数为，求的元素个数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为“”是“”的充分不必要条件，集合，，
所以集合，
即，解得，经检验满足题意，
所以实数的取值范围是．
16.解：当 时， ，
所以 或 ，又 ，
所以 ．
由题可得：当 时，有 ，
解得的取值范围为 ，此时满足题意 ；
当 时，根据，有 ，解得的取值范围为 ，
综上所述的取值范围为 ．
17.解：，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
令，得，解得：舍去或，
，解得，当且仅当，时等号成立，
的最小值是；
当时，，可得．
由得，
又，，，
当且仅当，即时等号成立．
当时，求的最小值是．
则有，解得，即的取值范围为．
18.解：设矩形窗框的长为，宽为，
则窗框的定长为，
，，
则窗框的面积为：，
因，
当时，窗框的面积取得最大值，
此时，
即当时，窗户能够透过最多的光线；
由题意可知单位距离的公路运费大于铁路运费，
由图知，，
则只有点选在线段上某一适当位置，才能使总运费最省．
设千米，铁路吨千米运费，公路吨千米运费，从到的总费用为，
则依题意得，，
即，
令，
则有，
两边同时平方并整理得：，
关于的方程一定有解，
，
解得，
，
，
当时，由可得：，
解得，
这时最小，也最小，
即当点选在距点千米处时，总运费最省．
19.解：Ⅰ；
Ⅱ首先，；
其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
当时，，，
相乘可知，，从而，
从而，所以；
当时，与上面类似的方法可以得到，
进而，从而，
所以或者；
Ⅲ估值构造，需要分类讨论中非负元素个数，
先证明，考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论：
情况一：中没有负数，
不妨设，则，
上式从小到大共有个数，它们都是的元素，这表明；
情况二：中至少有一个负数，设，，，是中的全部负元素，
，，，是中的全部非负元素．
不妨设，
其中，为正整数，，，，
则，
以上是中的个非正数元素，另外，注意到，
它们是中的个正数，这表明；
综上可知，总有，
另一方面，当时，中恰有个元素，
综上所述，中元素个数的最小值为．
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数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，命题：不等式的解集为，则成立是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.“”是“且”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.不等式的最小整数解是( )
A. B. C. D.
5.已知且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.命题，则是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.若不等式的解集为，则函数的图象可以为( )
A. B. C. D.
8.已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是( )
A. B. C. D.
10.已知正数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最小值是______．
13.不等式：的解为______．
14.某班有学生人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有人已知该班学生每人至少参加了个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，全集
若，求；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，．
当时，求的最小值；
当时，满足恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
根据要求完成下列问题：
要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户如图所示，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？
如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为：为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？
19.本小题分
已知实数集，定义．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求集合；
Ⅲ若中的元素个数为，求的元素个数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为“”是“”的充分不必要条件，集合，，
所以集合，
即，解得，经检验满足题意，
所以实数的取值范围是．
16.解：当 时， ，
所以 或 ，又 ，
所以 ．
由题可得：当 时，有 ，
解得的取值范围为 ，此时满足题意 ；
当 时，根据，有 ，解得的取值范围为 ，
综上所述的取值范围为 ．
17.解：，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
令，得，解得：舍去或，
，解得，当且仅当，时等号成立，
的最小值是；
当时，，可得．
由得，
又，，，
当且仅当，即时等号成立．
当时，求的最小值是．
则有，解得，即的取值范围为．
18.解：设矩形窗框的长为，宽为，
则窗框的定长为，
，，
则窗框的面积为：，
因，
当时，窗框的面积取得最大值，
此时，
即当时，窗户能够透过最多的光线；
由题意可知单位距离的公路运费大于铁路运费，
由图知，，
则只有点选在线段上某一适当位置，才能使总运费最省．
设千米，铁路吨千米运费，公路吨千米运费，从到的总费用为，
则依题意得，，
即，
令，
则有，
两边同时平方并整理得：，
关于的方程一定有解，
，
解得，
，
，
当时，由可得：，
解得，
这时最小，也最小，
即当点选在距点千米处时，总运费最省．
19.解：Ⅰ；
Ⅱ首先，；
其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
当时，，，
相乘可知，，从而，
从而，所以；
当时，与上面类似的方法可以得到，
进而，从而，
所以或者；
Ⅲ估值构造，需要分类讨论中非负元素个数，
先证明，考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论：
情况一：中没有负数，
不妨设，则，
上式从小到大共有个数，它们都是的元素，这表明；
情况二：中至少有一个负数，设，，，是中的全部负元素，
，，，是中的全部非负元素．
不妨设，
其中，为正整数，，，，
则，
以上是中的个非正数元素，另外，注意到，
它们是中的个正数，这表明；
综上可知，总有，
另一方面，当时，中恰有个元素，
综上所述，中元素个数的最小值为．
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