人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称专题等腰三角形中的常见证明思路（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称专题等腰三角形中的常见证明思路（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 10:14:25 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
专题 等腰三角形中的常见证明思路
类型一、利用等腰三角形的性质证明角相等
例1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
针对练习1
1．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
2． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
3．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
类型二、利用“三线合一”证明两线垂直
例2．如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性质，
在与中，
，
≌ ，
，
又，
针对练习2
1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
3．如图，在中，，过点作线段，连接，且满足.取的中点，连接.
（1）若，直接写出的取值范围 ；
（2）求证：.
类型三、利用平行线证明等腰三角形
例3．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．
针对练习3
1．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC．
求证：AD＝BC．
2．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
3．如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接．
求证：
（1）是等腰三角形．
（2）若．则________．
5．
（1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有 个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有 个等腰三角形与，间的数量关系是 ．
类型四、利用全等三角形证明等腰三角形
例4．如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=_____．
针对练习4
1．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．
（1）证明：△ADB≌△EBC；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形．
2．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：_____（只填序号）
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
_____．
3．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
4．已知：如图，AB=DC，BD=CA，求证：△AED是等腰三角形．
类型五、等腰三角形中的探究问题
例5．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
针对练习5
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED．
（1）求证：AD＝AE
（2）∠ABC＝2∠EDC，求证：∠BAD＝∠C
（3）在（2）的条件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接写出BD与AD之间的关系．
2．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．过点C作直线CP，点A关于直线CP的对称点为E，连接AE、BE，直线BE交直线CP于点F
（1）若∠PCA＝18°，则∠CBF＝_______°
（2）若90°＜∠PCA＜180°，在备选图中补全图形，用等式表示等式AC、BF、EF之间的数量关系，并证明
3．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE _____是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．
4．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
类型六、等腰三角形实践与探究
例6．综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
（2）【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
针对练习6
1．
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
2．
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
专题 等腰三角形中的常见证明思路
类型一、利用等腰三角形的性质证明角相等
例1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
针对练习1
1．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
∴△EBC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB．
2． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，
，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
3．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：∵ BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCA－∠DCA=∠DCE－∠DCA
∴∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS).
（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°.
∵∠CBA=∠CBD+∠DBA=∠CAE+∠DBA
∴∠CAE+∠DBA+∠CAB=∠DBA+∠BAE=90°.
∴ BF⊥AE .
（3）解：∠CFE＝∠CAB，理由如下：
过C作CH⊥AE交延长线于点H，CI⊥BF于点I，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，S△BCD=S△ACE，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°.
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB.
类型二、利用“三线合一”证明两线垂直
例2．如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性质，
在与中，
，
≌ ，
，
又，
【答案】解：(已知)，
(等边对等角)，
(已知)，
(等式性质)，
(等角对等边)，
在ABD与ACD中，
，(全等三角形的对应角相等)，
又，
(等腰三角形的三线合一).
针对练习2
1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）解：证明：如图，连接．
，点M、点N分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵N是的中点，
∴是的垂直平分线，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
∴cm，
答：的长是．
3．如图，在中，，过点作线段，连接，且满足.取的中点，连接.
（1）若，直接写出的取值范围 ；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明：，
，
.
为等腰三角形，
，
，
.
类型三、利用平行线证明等腰三角形
例3．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴BE//CD，
∴，
∵的平分线与BA的延长线相交于点E，
∴，
∴
∴BE=BC.
针对练习3
1．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC．
求证：AD＝BC．
【答案】证明：∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
又∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，∠CDE＝∠A，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD ，
∵BD＝BC，
∴AD＝BC．
2．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
【答案】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．
3．如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接．
求证：
（1）是等腰三角形．
（2）若．则________．
【答案】（1）证明：∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形．
（2）7
5．
（1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有 个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有 个等腰三角形与，间的数量关系是 ．
【答案】（1）
（2）；
（3）；
类型四、利用全等三角形证明等腰三角形
例4．如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=_____．
【答案】9
【解析】根据AAS证明△ABD与△ACE全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE=5，AC=AB，
∴AC=AE+BE=4+5=9．
故答案为：9．
针对练习4
1．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．
（1）证明：△ADB≌△EBC；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形．
【解析】（1）根据平行线的性质判定∠ADB=∠EBC，然后由∠BDC=∠BCD，得出BD=BC，结合BE=AD，利用SAS可证明结论；
（2）根据（1）的结论，可得CE=AB，结合等腰梯形的性质，可写出等腰三角形．
解（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ADB和△EBC中，
∴△ADB≌△EBC（SAS）．
（2）由（1）可得△BCD是等腰三角形；
∵△ADB≌△EBC，
∴CE=AB，
又∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形．
2．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：_____（只填序号）
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
_____．
【答案】(1)①②（或①③，①④，②③）;(2)在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．;
【解析】首先选择条件证得△BAD≌△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论．
解：选择的条件是：①∠B=∠C ②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；
证明：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．
故答案为：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
【解析】（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE=∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
4．已知：如图，AB=DC，BD=CA，求证：△AED是等腰三角形．
【解析】根据全等三角形的“SSS”判定定理证得△ABD≌△DCA，根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定即可证得结论．
证明：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠ADB=∠DAC，
∴EA=ED，
即△AED是等腰三角形．
类型五、等腰三角形中的探究问题
例5．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵
∴
即；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
针对练习5
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED．
（1）求证：AD＝AE
（2）∠ABC＝2∠EDC，求证：∠BAD＝∠C
（3）在（2）的条件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接写出BD与AD之间的关系．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）结论：AD=BD，证明见解析
【解析】（1）证明∠ADE=∠AED即可得到AD=AE；
（2）设∠CDE=x，则∠ABC=2∠EDC=2x，利用三角形的外角的性质解决问题；
（3）证明△ADE是等边三角形，得到∠ADE=60°，再证明∠ADB=90°，推出AB=2BD，再根据勾股定理得到4BD2=AD2+BD2，从而证明结论．
【小问1详解】
解：证明：∵∠ADB+∠EDC+∠ADE=180°，∠DEC+∠AED=180°，
又∵∠ADB+∠EDC=∠CED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
【小问2详解】
证明：设∠CDE=x，则∠ABC=2∠EDC=2x，
∵∠ADE=∠AEC=∠EDC+∠C=x+∠C，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠C+∠EDC+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠C+2x=2x+∠BAD，
∴∠BAD=∠C；
【小问3详解】
AD=BD，
理由：如图，
∵AD=AE，∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠B=2∠EDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∵AB2=AD2+BD2，
∴4BD2=AD2+BD2，
∴AD=BD．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形30°的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．过点C作直线CP，点A关于直线CP的对称点为E，连接AE、BE，直线BE交直线CP于点F
（1）若∠PCA＝18°，则∠CBF＝_______°
（2）若90°＜∠PCA＜180°，在备选图中补全图形，用等式表示等式AC、BF、EF之间的数量关系，并证明
【答案】（1）27 （2）EF2+BF2=2AC2，理由见解析．
【解析】（1）如图：连接CE，先证得AC=CE=BC、∠ECB=126°，然后根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）先按要求补全图形，再证明∠AFB=90°，最后利用勾股定理即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图：连接CE
∵A，E关于PC对称，
∴∠ACP=∠ECP=18°，CE=AC
∴∠ECA=36°
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．
∴∠ECB=∠ECA +∠ACB＝90°+36°=126°，CE=BC
∴∠CEB=（180°-126°）÷2=27°．
故答案为：27．
【小问2详解】
解： EF2+BF2=2AC2，理由如下：
设∠ACP=∠PCE=
∵∠ACE=360°-2，∠ECB=360°-2=90°=270°-2，
∵CA=CE=CB，
∴∠AEC=∠CAE=（180°-360° + 2）= -90°，∠CEB=∠CBE=（180°-270°+ 2）=-45°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CEA=45°，
∵A，E关于CF对称，
∴FA=EF，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2=2AC2．
【点睛】本题考查轴对称变换、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
3．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE _____是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．
【答案】不可能
【解析】（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形；
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．
解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
4．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；
（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵点F为AC的中点，
∴EF=AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，
∴BC=AM+DM．
类型六、等腰三角形实践与探究
例6．综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
（2）【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
，
，
，
是的平分线；
（2）解：实践小组的判断对，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对．
针对练习6
1．
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
【答案】（1）；
（2）证明：，，
，
在和中，
（3）解：如图，过B作BMI EF交DF于点M，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
2．
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
【答案】（1）B
（2）证明：延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
专题 等腰三角形中的常见证明思路
类型一、利用等腰三角形的性质证明角相等
例1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
针对练习1
1．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
2． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
3．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
类型二、利用“三线合一”证明两线垂直
例2．如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性质，
在与中，
，
≌ ，
，
又，
针对练习2
1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
3．如图，在中，，过点作线段，连接，且满足.取的中点，连接.
（1）若，直接写出的取值范围 ；
（2）求证：.
类型三、利用平行线证明等腰三角形
例3．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．
针对练习3
1．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC．
求证：AD＝BC．
2．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
3．如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接．
求证：
（1）是等腰三角形．
（2）若．则________．
5．
（1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有 个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有 个等腰三角形与，间的数量关系是 ．
类型四、利用全等三角形证明等腰三角形
例4．如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=_____．
针对练习4
1．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．
（1）证明：△ADB≌△EBC；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形．
2．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：_____（只填序号）
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
_____．
3．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
4．已知：如图，AB=DC，BD=CA，求证：△AED是等腰三角形．
类型五、等腰三角形中的探究问题
例5．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
针对练习5
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED．
（1）求证：AD＝AE
（2）∠ABC＝2∠EDC，求证：∠BAD＝∠C
（3）在（2）的条件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接写出BD与AD之间的关系．
2．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．过点C作直线CP，点A关于直线CP的对称点为E，连接AE、BE，直线BE交直线CP于点F
（1）若∠PCA＝18°，则∠CBF＝_______°
（2）若90°＜∠PCA＜180°，在备选图中补全图形，用等式表示等式AC、BF、EF之间的数量关系，并证明
3．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE _____是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．
4．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
类型六、等腰三角形实践与探究
例6．综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
（2）【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
针对练习6
1．
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
2．
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
专题 等腰三角形中的常见证明思路
类型一、利用等腰三角形的性质证明角相等
例1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
针对练习1
1．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
∴△EBC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB．
2． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，
，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
3．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：∵ BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCA－∠DCA=∠DCE－∠DCA
∴∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS).
（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°.
∵∠CBA=∠CBD+∠DBA=∠CAE+∠DBA
∴∠CAE+∠DBA+∠CAB=∠DBA+∠BAE=90°.
∴ BF⊥AE .
（3）解：∠CFE＝∠CAB，理由如下：
过C作CH⊥AE交延长线于点H，CI⊥BF于点I，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，S△BCD=S△ACE，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°.
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB.
类型二、利用“三线合一”证明两线垂直
例2．如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性质，
在与中，
，
≌ ，
，
又，
【答案】解：(已知)，
(等边对等角)，
(已知)，
(等式性质)，
(等角对等边)，
在ABD与ACD中，
，(全等三角形的对应角相等)，
又，
(等腰三角形的三线合一).
针对练习2
1． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）解：证明：如图，连接．
，点M、点N分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵N是的中点，
∴是的垂直平分线，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
∴cm，
答：的长是．
3．如图，在中，，过点作线段，连接，且满足.取的中点，连接.
（1）若，直接写出的取值范围 ；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明：，
，
.
为等腰三角形，
，
，
.
类型三、利用平行线证明等腰三角形
例3．如图，在平行四边形ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴BE//CD，
∴，
∵的平分线与BA的延长线相交于点E，
∴，
∴
∴BE=BC.
针对练习3
1．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC．
求证：AD＝BC．
【答案】证明：∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
又∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，∠CDE＝∠A，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD ，
∵BD＝BC，
∴AD＝BC．
2．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
【答案】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．
3．如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接．
求证：
（1）是等腰三角形．
（2）若．则________．
【答案】（1）证明：∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形．
（2）7
5．
（1）如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有 个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有 个等腰三角形与，间的数量关系是 ．
【答案】（1）
（2）；
（3）；
类型四、利用全等三角形证明等腰三角形
例4．如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=_____．
【答案】9
【解析】根据AAS证明△ABD与△ACE全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE=5，AC=AB，
∴AC=AE+BE=4+5=9．
故答案为：9．
针对练习4
1．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．
（1）证明：△ADB≌△EBC；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形．
【解析】（1）根据平行线的性质判定∠ADB=∠EBC，然后由∠BDC=∠BCD，得出BD=BC，结合BE=AD，利用SAS可证明结论；
（2）根据（1）的结论，可得CE=AB，结合等腰梯形的性质，可写出等腰三角形．
解（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ADB和△EBC中，
∴△ADB≌△EBC（SAS）．
（2）由（1）可得△BCD是等腰三角形；
∵△ADB≌△EBC，
∴CE=AB，
又∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形．
2．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：_____（只填序号）
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
_____．
【答案】(1)①②（或①③，①④，②③）;(2)在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．;
【解析】首先选择条件证得△BAD≌△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论．
解：选择的条件是：①∠B=∠C ②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；
证明：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．
故答案为：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
【解析】（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE=∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
4．已知：如图，AB=DC，BD=CA，求证：△AED是等腰三角形．
【解析】根据全等三角形的“SSS”判定定理证得△ABD≌△DCA，根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定即可证得结论．
证明：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠ADB=∠DAC，
∴EA=ED，
即△AED是等腰三角形．
类型五、等腰三角形中的探究问题
例5．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵
∴
即；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
针对练习5
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED．
（1）求证：AD＝AE
（2）∠ABC＝2∠EDC，求证：∠BAD＝∠C
（3）在（2）的条件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接写出BD与AD之间的关系．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）结论：AD=BD，证明见解析
【解析】（1）证明∠ADE=∠AED即可得到AD=AE；
（2）设∠CDE=x，则∠ABC=2∠EDC=2x，利用三角形的外角的性质解决问题；
（3）证明△ADE是等边三角形，得到∠ADE=60°，再证明∠ADB=90°，推出AB=2BD，再根据勾股定理得到4BD2=AD2+BD2，从而证明结论．
【小问1详解】
解：证明：∵∠ADB+∠EDC+∠ADE=180°，∠DEC+∠AED=180°，
又∵∠ADB+∠EDC=∠CED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
【小问2详解】
证明：设∠CDE=x，则∠ABC=2∠EDC=2x，
∵∠ADE=∠AEC=∠EDC+∠C=x+∠C，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠C+∠EDC+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠C+2x=2x+∠BAD，
∴∠BAD=∠C；
【小问3详解】
AD=BD，
理由：如图，
∵AD=AE，∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠B=2∠EDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∵AB2=AD2+BD2，
∴4BD2=AD2+BD2，
∴AD=BD．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形30°的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．过点C作直线CP，点A关于直线CP的对称点为E，连接AE、BE，直线BE交直线CP于点F
（1）若∠PCA＝18°，则∠CBF＝_______°
（2）若90°＜∠PCA＜180°，在备选图中补全图形，用等式表示等式AC、BF、EF之间的数量关系，并证明
【答案】（1）27 （2）EF2+BF2=2AC2，理由见解析．
【解析】（1）如图：连接CE，先证得AC=CE=BC、∠ECB=126°，然后根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）先按要求补全图形，再证明∠AFB=90°，最后利用勾股定理即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图：连接CE
∵A，E关于PC对称，
∴∠ACP=∠ECP=18°，CE=AC
∴∠ECA=36°
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．
∴∠ECB=∠ECA +∠ACB＝90°+36°=126°，CE=BC
∴∠CEB=（180°-126°）÷2=27°．
故答案为：27．
【小问2详解】
解： EF2+BF2=2AC2，理由如下：
设∠ACP=∠PCE=
∵∠ACE=360°-2，∠ECB=360°-2=90°=270°-2，
∵CA=CE=CB，
∴∠AEC=∠CAE=（180°-360° + 2）= -90°，∠CEB=∠CBE=（180°-270°+ 2）=-45°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CEA=45°，
∵A，E关于CF对称，
∴FA=EF，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2=2AC2．
【点睛】本题考查轴对称变换、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
3．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE _____是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．
【答案】不可能
【解析】（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形；
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．
解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
4．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；
（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵点F为AC的中点，
∴EF=AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，
∴BC=AM+DM．
类型六、等腰三角形实践与探究
例6．综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
（2）【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
，
，
，
是的平分线；
（2）解：实践小组的判断对，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对．
针对练习6
1．
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
【答案】（1）；
（2）证明：，，
，
在和中，
（3）解：如图，过B作BMI EF交DF于点M，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
2．
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
【答案】（1）B
（2）证明：延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
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