2024-2025学年河河南省郑州市南省实验中学高一（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年河南省实验中学高一（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，都是正数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.已知且，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象是( )
A. B. C. D.
6.若函数，则( )
A. B. C. D.
7.设表示与的最大值若，都是正数，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若对，，，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集，集合，，则( )
A. 集合的真子集有个 B.
C. D. 中的元素个数为
10.下列不等式恒成立的是( )
A. ， B.
C. D.
11.已知，为正实数，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则 ______．
13.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．
14.设关于的不等式，只有有限个整数解，且是其中一个解，则的取值是______，全部不等式的整数解的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若且，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的表达式；
解关于的不等式．
17.本小题分
已知二次函数且，是否存在常数，，使得不等式对一切实数都成立？若存在，求出实数，，的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单位为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
其中，
试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
若，，，同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值最小值注：差值花费较大值花费较小值．
19.本小题分
已知定义在上的函数满足：；，，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，令．
求实数，的值及；
判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
已知，且，证明：．
参考答案
1.
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8.
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11.
12.
13.
14.或
15.解：由题意，集合，
因为且，
所以，
解得，
综上所述，实数的取值范围为；
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或，无解，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：的解集为，
，是方程的根且，
，
．
当时，，
，，；
当时，，
即，即，
当时，，或；
当时，，
(ⅰ)当时，无解；
(ⅱ)当时，；
(ⅲ)当时，；
综上所述：当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．

17.解：且
且联解可得，．
函数表达式化简为：．
设存在常数，，使得不等式对一切实数都成立
可得对一切成立，
化简得恒成立，即
解之得，可得．
存在常数，，，使得不等式对一切实数都成立．
18.解：方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
，
又因为，，
所以，，
所以，
即，
所以，
所以采用方案二，花费更少；
由可知，
令，则，
所以，当，即，时，等号成立；
又因为，，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以差值的最小值为，
当且仅当，，，时等号成立，
所以两种方案花费的差值的最小值为元．
19.解：由，，均有且，
令，可得，即，；
令，可得．
曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，
，
又曲线与恰有一个交点，有两个相等的实数根，
则，
，可得，解得，，
，则．
解：函数在上单调递增，在上单调递减．
设，且，
则，
其中
当，时，，则，即，
此时函数在上单调递增；
当，时，，则，即，此时函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减．
证明：，
由，可得，即，
，整理得，
又，由基本不等式，可得．
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