2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列语言叙述中，能表示集合的是( )
A. 数轴上离原点距离很近的所有点； B. 太阳系内的所有行星
C. 某高一年级全体视力差的学生； D. 与大小相仿的所有三角形
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知，为实数，则“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.集合，则的非空真子集的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.已知实数，满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面命题正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“若，则”的否定是“存在，则”
C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
10.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D. 的真子集个数是
11.设，，则下列说法正确的是( )
A.
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“”的必要不充分条件
D. ，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，记，，，则、、的大小关系为______用“”连接
13.已知不等式的解集为，则 ______， ______．
14.已知正数，满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，
分别求，；
已知，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
解不等式：
；
．
17.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若不等式的解集为，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合．
判断集合，是否为闭集合，并给出证明．
若集合，为闭集合，且，，求证：．
参考答案
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15.解：集合，
所以，
所以或，
因为或，
所以或．
因为，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．

16.解：原不等式等价于，
解得，
所以该不等式的解集为；
原不等式等价于，即，
解得或，
所以该不等式的解集为．
17.解：当时，，
不等式即为，
解得或，
该不等式的解集为；
由题意得的解集为，
当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，不符合题意，舍去；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
18.解：根据题意，集合，，
若，则有，则；
若“”是“”的充分条件，则，
当时，，符合题意；
当时，，则有，解可得，
综合可得：，即的取值范围为．
19.解：不是闭集合，是闭集合，理由如下：
因为，，但，所以不是闭集合；
因为，所以任取，，
设，，其中，，
则，，
所以是闭集合．
证明：假设，
因为，所以存在且，所以，
同理可得：存在且，所以，
因为，
所以或，
若，则为闭集合，所以，与矛盾；
若，则为闭集合，所以，与矛盾．
综上所述，存在，使得，
故假设不成立，故．
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