人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称第13章小结与复习（含解析）

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人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
第13章 小结与复习
一、知识点梳理
知识点解析
知识点1 轴对称图形与轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴.
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉
及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果
把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
典例剖析1
例1．鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一.因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余.下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
针对训练1
1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
2．如图,在的正方形格纸中,每个小方格的边长为1,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中是一个格点三角形.
（1）________.
（2）请在每一个图中,作出一个与成轴对称的格点三角形.(两个能重复)
3．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的为格点三角形，在图中最多能画出__________个格点三角形与成轴对称.
知识点2 平面直角坐标系中的轴对称
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.
典例剖析2
例2．如图，在平面直角坐标系中，，，.
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)直接写出的面积为_____；
(3)请仅用无刻度的直尺画出的平分线BD，保留作图痕迹.
针对训练2
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，.
(1)画出关于x轴对称后的图形，并写出各点的坐标.
______，______，______.
(2)画出点C关于直线对称的点以及求出的坐标，连接，，，并求出的面积.
2．在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为________.
3．在平面直角坐标系中,点关于y轴对称的点的坐标为______.
4．在平面直角坐标系中，点，，现将线段平移后得到线段，若点与点A重合，则点的坐标是_______.
知识点3 线段垂直平分线的性质与判定
1.线段的垂直平分线性质
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
2.线段的垂直平分线判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
典例剖析3
例3 .如图,在中,分别以点A和点C为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E,若,的周长为13cm,则的周长为( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
针对训练3
1．如图，AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高.求证：AD垂直平分EF.
2．如图，中，，D是AC上一点，，过点D作AC的垂线交AB于点E，连接CE交BD于F.求证：CE垂直平分BD.
3．如图，在中，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E.若的周长为30，，则的周长为______.
4．如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是___________°.
知识点4 等腰三角形的性质与判定
1.等腰三角形
定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
典例剖析4
例4．如图，在中，，，DE是AB的垂直平分线.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是a，，求的周长.（用含a，b的代数式表示）
针对训练4
1．如图，在中，，点D是上一点，点E是上一点，且.若，，求的度数.
2．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F，若.
求证：
（1）是等腰三角形.
（2）.
3. 如图，在中，，，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作，DE交线段AC于点E.
(1)当时，__________°，_________°；点D从点B向点C运动时，逐渐变_________(填“大”或“小”)
(2)当DC等于多少时，？请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由.
4．如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）；
（2）为等腰三角形.
5．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知：线段a.求作：等腰，使边上的高为.作法：如图，①作线段；②作线段的垂直平分线交于点F；③在射线上顺次截取线段，连接.即为所求作的等腰三角形.
请回答：得到是等腰三角形的依据：
（1）________________；
（2）___________________.
知识点5 等边三角形的性质与判定
等边三角形定义：
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
2.等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
4.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典例剖析5
例5．如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使.求证.
针对训练5
1．如图,点P,M,N分别在等边的各边上,且于点P,于点M,于点N.
（1）求证:是等边三角形;
（2）若cm,求CM的长.
2．已知M是等边的边BC上的点.
（1）如图①，过点M作，交AB于点N，求证：；
（2）如图②，连接AM，过点M作，MH与的邻补角的平分线交于点H，过点H作，交BC延长线于点D.
①求证：；
②直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式.
3．数学课上，刘老师出示了如下框中的题目：
如图，在等边中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由.
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解.刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”.两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE________DB.（选填“>”，“<”或“=”）
（2）特例启发，解答题目
当E为线段AB上除中点外的任意一点时，其余条件不变，如图2，（1）中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由.
（3）拓展结论，设计新题
经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且.若的边长为1，，求CD的长.
请你根据（1）（2）的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长.
4．已知是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E.
（1）如图1，连接，，，当时，根据边的关系，可判定的形状是___________三角形；
（2）如图2，当点D在延长线上时，连接，，，，延长到点G，使，连接，交于点F，F为的中点.若，则的长为___________.
知识点6 最短路径
（1）依据1垂线段最短;一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。一定两动，动点在直线上，两线段之和最短，则垂线段最短
（2）依据2两点之间线段最短:
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
典例剖析6
例6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的三幅图中画出点P，使点P在线段上，且满足以下要求，保留适当的作图痕迹.
(1)在图①中，连结，使最小.
(2)在图②中，连结、，使.
(3)在图③中，连结、，使最小.
针对训练6
1．观察图形,完成下面两个问题.
(1)画出格点(顶点均在格点上)关于直线对称的.
(2)在上画出点Q,使最小.
2．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则___________°.
3．如图，，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记，，当最小时，则与的数量关系是______.
4．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
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轴对称
第13章 小结与复习
一、知识点梳理
知识点解析
知识点1 轴对称图形与轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴.
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉
及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果
把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
典例剖析1
例1．鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一.因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余.下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，本选项符合题意.
故选：D.
针对训练1
1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
答案：见解析
解析：图中有阴影的三角形与三角形1，3成轴对称；整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴.
2．如图,在的正方形格纸中,每个小方格的边长为1,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中是一个格点三角形.
（1）________.
（2）请在每一个图中,作出一个与成轴对称的格点三角形.(两个能重复)
答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）,
故答案为:.
（2）如图所示,和即为所求(答案不唯一).
3．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的为格点三角形，在图中最多能画出__________个格点三角形与成轴对称.
答案：6
解析：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称.
知识点2 平面直角坐标系中的轴对称
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.
典例剖析2
例2．如图，在平面直角坐标系中，，，.
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)直接写出的面积为_____；
(3)请仅用无刻度的直尺画出的平分线BD，保留作图痕迹.
答案：(1)见解析
(2)
(3)见解析
解析：(1)如图所示，即为所求；
(2)由题可得，，，
∴的面积为；
故答案为：；
(3)如图所示，BD即为所求.
针对训练2
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，.
(1)画出关于x轴对称后的图形，并写出各点的坐标.
______，______，______.
(2)画出点C关于直线对称的点以及求出的坐标，连接，，，并求出的面积.
答案：(1)图形见解析，，，
(2)图形见解析，；面积为8
解析：(1)如图所示，即为所求，
∴，，；
(2)如图所示，即为所求：
∵点C关于直线对称的点为点，
∴点的坐标为，
∵，，
∴，，，
∴.
2．在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为________.
答案：
解析：点P关于x轴的对称点在第二象限，得P在第三象限，
由到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，得，
故选：.
3．在平面直角坐标系中,点关于y轴对称的点的坐标为______.
答案：
解析：由题意得：点关于y轴对称的点为,
故答案为：.
4．在平面直角坐标系中，点，，现将线段平移后得到线段，若点与点A重合，则点的坐标是_______.
答案：
解析：线段平移后，点与点A重合，，
将线段向左平移2个单位，向下平移2个单位得到线段，
点的对应点的坐标为，即，
故答案为：.
知识点3 线段垂直平分线的性质与判定
1.线段的垂直平分线性质
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
2.线段的垂直平分线判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
典例剖析3
例3 .如图,在中,分别以点A和点C为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E,若,的周长为13cm,则的周长为( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
答案：B
解析：根据作法可知MN是AC的垂直平分线,
∴DE垂直平分线段AC,
∴,,
∵,
∴,
∴的周长,
故选B.
针对训练3
1．如图，AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高.求证：AD垂直平分EF.
答案：证明见解析
解析：证明：是的角平分线，，，
.点D在EF的垂直平分线上.
在和中，
.
.
点A在EF的垂直平分线上.
又点D也在EF的垂直平分线上，
垂直平分EF.
2．如图，中，，D是AC上一点，，过点D作AC的垂线交AB于点E，连接CE交BD于F.求证：CE垂直平分BD.
答案：证明见解析
解析：证明：，
.
在和中，
，.
，
，，
垂直平分.
3．如图，在中，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E.若的周长为30，，则的周长为______.
答案：20
解析：是BC的垂直平分线，
，，
的周长
故答案为20.
4．如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是___________°.
答案：20
解析：由作图可知，F点到点E和点C的距离相等，
F点在的垂直平分线上，
又，
垂直平分，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：20.
知识点4 等腰三角形的性质与判定
1.等腰三角形
定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
典例剖析4
例4．如图，在中，，，DE是AB的垂直平分线.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是a，，求的周长.（用含a，b的代数式表示）
答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），，
，
是AC的垂直平分线，
，
，
是的外角，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）可知，
的周长是a，
，
，
，
的周长.
针对训练4
1．如图，在中，，点D是上一点，点E是上一点，且.若，，求的度数.
答案：
解析：，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
2．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F，若.
求证：
（1）是等腰三角形.
（2）.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1），.
，
，，
.
，
，，
是等腰三角形.
（2）如图，过点A作于点H，
，
.
由（1）知，
.
在和中，
.
，，.
3. 如图，在中，，，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作，DE交线段AC于点E.
(1)当时，__________°，_________°；点D从点B向点C运动时，逐渐变_________(填“大”或“小”)
(2)当DC等于多少时，？请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由.
答案：(1)35；105；小
(2)见解析
(3)当或110°时，的形状可以是等腰三角形
解析：(1)，且，，
，
，
，
，
，
点D从B向C的运动过程中，逐渐变大，
逐渐变小，
故答案为：35；105；小；
(2)当时，，理由如下：
，，，
，
在和中，
，
；
(3)若时，
，，
，
，
，
，
若时，
，，
，
，
，
，
，
综上所述：当或110°时，的形状可以是等腰三角形.
4．如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）；
（2）为等腰三角形.
答案：证明：（1），，
.
又BD是的平分线，，
，
，又E是AB的中点，
，即.
（2），，
FE垂直平分AB，
，.
又，
.
又，
，
，
，即为等腰三角形.
5．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知：线段a.求作：等腰，使边上的高为.作法：如图，①作线段；②作线段的垂直平分线交于点F；③在射线上顺次截取线段，连接.即为所求作的等腰三角形.
请回答：得到是等腰三角形的依据：
（1）________________；
（2）___________________.
答案：（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形
解析：由作图得，垂直平分.故是等腰三角形.
知识点5 等边三角形的性质与判定
等边三角形定义：
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
2.等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
4.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典例剖析5
例5．如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使.求证.
答案：证明见解析
解析：证明：是等边三角形，D是AC的中点，
，
.
，
.
，
.
.
.
针对训练5
1．如图,点P,M,N分别在等边的各边上,且于点P,于点M,于点N.
（1）求证:是等边三角形;
（2）若cm,求CM的长.
答案：（1）见解析
（2）4cm
解析:（1）是正三角形,
,
,,,
,
,
,
是等边三角形;
（2）根据题意,
,,
cm,
是正三角形,
,
,
,
,
.
2．已知M是等边的边BC上的点.
（1）如图①，过点M作，交AB于点N，求证：；
（2）如图②，连接AM，过点M作，MH与的邻补角的平分线交于点H，过点H作，交BC延长线于点D.
①求证：；
②直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式.
答案：（1）见解析
（2）①见解析
②
解析：（1），
，，
，
；
（2）①如图过M点作交AB于N，
则，，
，
，
是外角平分线，所以，
，
又，，
，
又，
，
在和中
，
；
②；理由如下：
如上图，过M点作于G，
，
，
为等边三角形，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
所以.
3．数学课上，刘老师出示了如下框中的题目：
如图，在等边中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由.
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解.刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”.两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE________DB.（选填“>”，“<”或“=”）
（2）特例启发，解答题目
当E为线段AB上除中点外的任意一点时，其余条件不变，如图2，（1）中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由.
（3）拓展结论，设计新题
经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且.若的边长为1，，求CD的长.
请你根据（1）（2）的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长.
答案：（1）=
（2）不会改变，仍有，见解析
（3）3或1
解析：（1）为等边三角形，E为AB的中点，
，，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：=
（2）不会改变，仍有.证明如下：
如图，过点E作，交AC于点F，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，即，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
,
，
.
（3）如图，若点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
如图，若点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上，过点E作于点M，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，若点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，不符合三角形内角和定理，舍去，
如图，若点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上，则，，
，，且，
，
，不合题意，舍去，
综上所述，CD的长为3或1.
4．已知是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E.
（1）如图1，连接，，，当时，根据边的关系，可判定的形状是___________三角形；
（2）如图2，当点D在延长线上时，连接，，，，延长到点G，使，连接，交于点F，F为的中点.若，则的长为___________.
答案：（1）等边
（2）6
解析：（1）是等边三角形，理由如下：
点D，E关于直线AC对称，
，，
是等边三角形，
，，
点D为线段BC的中点，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）如图2所示，
证明：F为线段BE的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
点D，E关于直线AC对称，
，，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
CG=2CF，
在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：等边；6.
知识点6 最短路径
（1）依据1垂线段最短;一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。一定两动，动点在直线上，两线段之和最短，则垂线段最短
（2）依据2两点之间线段最短:
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
典例剖析6
例6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的三幅图中画出点P，使点P在线段上，且满足以下要求，保留适当的作图痕迹.
(1)在图①中，连结，使最小.
(2)在图②中，连结、，使.
(3)在图③中，连结、，使最小.
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)如图①中，点P即为所求；
∵于点P，
∴点P满足要求；
(2)如图②中，点P即为所求；
∵，
∴点P满足要求；
(3)如图③中，点P即为所求.
∵点A和关于轴对称，
∴，，
当、B、P三点共线时，有最小值，
即点P满足要求.
针对训练6
1．观察图形,完成下面两个问题.
(1)画出格点(顶点均在格点上)关于直线对称的.
(2)在上画出点Q,使最小.
答案：(1)图见解析
(2)图见解析
解析：(1)如图所示：即为所求；
(2)由轴对称的性质及两点之间线段最短可知连接,与直线交于点Q,此时最小,Q点如图所示.
2．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则___________°.
答案：150
解析：作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值.
，
，
，，且，，
故答案为：150.
3．如图，，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记，，当最小时，则与的数量关系是______.
答案：
解析：如图，作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接交OA于Q，交OB于P，则最小，
易知，，
，，
，
.
，
故答案为：.
4．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
答案：C
解析：连接，，
是等腰三角形，点D是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点C关于直线的对称点为点A，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短.
故选：C.
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