2024-2025学年江苏省常州市教科院附属高级中学高一（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市教科院附属高级中学高一（上）学情调研数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.满足的集合的个数为
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要
3.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
4.已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
5.集合或，，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A. B. C. D.
7.已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若不等式对恒成立，则实数的值可能为( )
A. B. C. D.
10.若，，，则下列说法不成立的有( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若且，则
11.设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：，若，，则且，那么称是的一个环则下列说法正确的是( )
A. 若，则，，是的环
B. 若，则存在的一个环，含有个元素
C. 若，则存在的一个环，含有个元素且，
D. 若，则存在的一个环，含有个元素且，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知关于的不等式的解集中的一个元素为，则实数的取值范围为______．
13.已知集合，，若，则的最小值为 ．
14.若，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题“，方程有实根”是真命题．
求实数的取值集合；
已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知全集，不等式的解集是，集合，．
求实数，的值；
求；
若，，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围；
已知集合，，若，求的取值范围．
18.本小题分
常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备生产此设备的年固定成本为万元，且每生产台需要另投入成本万元，当年产量不足台时，万元；当年产量不少于台时万元经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
分别求年产量不足台和年产量不少于台时，年利润万元关于年产量台的函数关系式；
年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
19.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求实数的值；
解不等式；
若在函数图象上，分别取横坐标为，时，其纵坐标之和为，证明：．
参考答案
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15.由题可知，命题“，方程有实根”是真命题，
则，则，
所以．
若“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，，即，满足题意；
当时，，即，满足题意；
综上所述：的取值范围为，．
16.由不等式的解集是，
可得，解得．
由不等式，可得，，
因为，可得或，
可得．
因为，，，
可得，
又因为，，，
可得，
所以实数的取值范围为．
17.解：，，不符合题意舍去，
，时，不恒在轴上方舍去，
，若函数的图象恒在轴上方，则，即，
综上所述：实数的取值范围为；
法：，，使得有解，
，，
令，令，则，，
其对称轴为，故函数在上单调递增，故，
故实数的取值范围为．
法：时，舍去；
时，，，，
正根，解得．
时，过点，对称轴，
所以在内与轴无交点舍去；
综上可知实数的取值范围为．
18.解：由题意可知，当，时，
，
当，时，
，
所以年利润关于年产量的函数关系式为；
当，时，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
当，时，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
即时，取得最大值，
由于，
所以当年生产台时，该企业年利润的最大值为万元．
19.解：因为，则，即，
又因为解集为，则，且，
可得，解得．
由可知：，则不等式化为，
则或或，解得，或，或，
所以不等式的解集为或．
由知，
在函数图象上，分别取横坐标为，时，其纵坐标之和为，
则，
可得，即，且，
则
，当且仅当，即时，等号成立，
又因为，故等号取不到，所以．
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