2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 36.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-17 15:24:17 | ||
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文档简介
2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知全集，集合，是的子集．且，则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知，，则“，且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知集合，，若，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D.
6.已知，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设，，，，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知命题：，；命题：，，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为( )
A. B. 的不同子集的个数为
C. D.
11.如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为用表示有限集的元素个数则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 存在集合，使得
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则______．
13.已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
14.已知，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若中有且仅有个元素，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：，；命题：，．
若为真命题，求实数的最小值；
若与恰有个为假命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图示意，在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园如图中，其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等由于路面材质的不同，段的造价为每米万元，段的造价为每米万元，内部的造价为每平方米万元设的长为米，的长为米．
若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积只考虑内部最少？
若建造公园的总费用为万元，则健身步道至少有多长？
18.本小题分
已知集合，，．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；
若，，使，求实数的取值范围．
参考公式：若关于的方程有两根，，则关于的不等式的解集为，的解集为．
19.本小题分
对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质．
判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由；
设集合，且，若具有孪生性质，求的最小值；
设集合，，若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；
若，则当且仅当方程的判别式，
即时，方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所以实数的值为或；
，
因为，所以，
由知时，，不符合，
当时，若，
解得，此时，符合，
若，解得，
此时方程的根为，集合，符合，
若，由，则可得，
此时有且，无解，
综上所述：实数的取值范围为．
16.解：因为为真命题，
所以的解集为，
所以，解得，
所以实数的最小值为；
因为，所以，，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
因为，，
所以当为真命题时，，
由可知为真命题时，，当为真命题，为假命题时，，
所以，当为假命题，为真命题时，，
所以，
综上所述：与恰有个为假命题，实数的取值范围为．
17.解：根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为，
即，所以有，
而公园占地面积，
当且仅当，时取得等号，
所以规划，时占地面积最少；
根据题意有：，即，
而，
当且仅当，即，时取得等号，
所以规划，时，即步道至少为米．
18.解：由，可得，
即，
而时，，，
由二次函数的性质知，即，
所以；
根据反比例函数的性质知时，，
则，
由知：，由“”是“”的必要条件可得，
若，即时，结合二次函数的性质，
当时，，
当时，，
即，
易知，
所以，
若，，显然满足，
若，，
要满足题意则需或，
所以；
若，即时，同上知，且，
所以，则，
此时，
要满足题意需，或，
所以；
若，即时，结合二次函数性质，
当时，，
当时，，
即，且，
所以，与前提矛盾，舍去；
若，即时，结合二次函数性质，
当时，，
当时，，
即，且，
所以，
即，显然，有，不符题意；
而时，，
要满足题意需，与前提矛盾舍去，
或，也与前提矛盾，舍去；
综上所述：；
由，，使恒成立知恒成立，
由知：
时，，则；
时，，则；
时，，则，
所以，
综上所述：．
19.解：由题意可得：，，
，，
而，，
所以不具有孪生性质，具有孪生性质．
由题意可得：，
，
因为，所以，即，
又因为，所以的最小值是．
证明：集合，，
则，，，，，，都属于集合，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知全集，集合，是的子集．且，则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知，，则“，且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知集合，，若，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D.
6.已知，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设，，，，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知命题：，；命题：，，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为( )
A. B. 的不同子集的个数为
C. D.
11.如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为用表示有限集的元素个数则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 存在集合，使得
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则______．
13.已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
14.已知，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若中有且仅有个元素，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：，；命题：，．
若为真命题，求实数的最小值；
若与恰有个为假命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图示意，在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园如图中，其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等由于路面材质的不同，段的造价为每米万元，段的造价为每米万元，内部的造价为每平方米万元设的长为米，的长为米．
若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积只考虑内部最少？
若建造公园的总费用为万元，则健身步道至少有多长？
18.本小题分
已知集合，，．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；
若，，使，求实数的取值范围．
参考公式：若关于的方程有两根，，则关于的不等式的解集为，的解集为．
19.本小题分
对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质．
判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由；
设集合，且，若具有孪生性质，求的最小值；
设集合，，若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；
若，则当且仅当方程的判别式，
即时，方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所以实数的值为或；
，
因为，所以，
由知时，，不符合，
当时，若，
解得，此时，符合，
若，解得，
此时方程的根为，集合，符合，
若，由，则可得，
此时有且，无解，
综上所述：实数的取值范围为．
16.解：因为为真命题，
所以的解集为，
所以，解得，
所以实数的最小值为；
因为，所以，，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
因为，，
所以当为真命题时，，
由可知为真命题时，，当为真命题，为假命题时，，
所以，当为假命题，为真命题时，，
所以，
综上所述：与恰有个为假命题，实数的取值范围为．
17.解：根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为，
即，所以有，
而公园占地面积，
当且仅当，时取得等号，
所以规划，时占地面积最少；
根据题意有：，即，
而，
当且仅当，即，时取得等号，
所以规划，时，即步道至少为米．
18.解：由，可得，
即，
而时，，，
由二次函数的性质知，即，
所以；
根据反比例函数的性质知时，，
则，
由知：，由“”是“”的必要条件可得，
若，即时，结合二次函数的性质，
当时，，
当时，，
即，
易知，
所以，
若，，显然满足，
若，，
要满足题意则需或，
所以；
若，即时，同上知，且，
所以，则，
此时，
要满足题意需，或，
所以；
若，即时，结合二次函数性质，
当时，，
当时，，
即，且，
所以，与前提矛盾，舍去；
若，即时，结合二次函数性质，
当时，，
当时，，
即，且，
所以，
即，显然，有，不符题意；
而时，，
要满足题意需，与前提矛盾舍去，
或，也与前提矛盾，舍去；
综上所述：；
由，，使恒成立知恒成立，
由知：
时，，则；
时，，则；
时，，则，
所以，
综上所述：．
19.解：由题意可得：，，
，，
而，，
所以不具有孪生性质，具有孪生性质．
由题意可得：，
，
因为，所以，即，
又因为，所以的最小值是．
证明：集合，，
则，，，，，，都属于集合，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以．
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