人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称第13章单元检测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第13章 轴对称第13章单元检测卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 10:15:48 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
第13章单元检测卷
考试时间：120分钟 满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．随着生活水平的不断提高，汽车越来越普及，在下面的汽车标志图中，不属于轴对称的图形是（ ）
A. B.
C. D.
2．如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD=46°，∠C=20°，则∠ADC等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 52° D. 72°
3．小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（ ）
A. 21：05 B. 20：15 C. 20：12 D. 21：50
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
5．在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A. （作一个角的平分线）
B. （作线段的垂直平分线）
C. （作高）
D. （作等腰三角形）
6．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB=90°，∠D=15°，点A在CD上，AD=AB，BC=2dm,则AD的长为（ ）
A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm
7．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
9．点（-7，9）关于直线m（直线m上各点横坐标都为2）对称点的坐标是（ ）
A. （7，9） B. （-7，-9）
C. （11，9） D. （-11，-9）
10．如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
分卷II
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．若∠A=45°，∠C′=30°，则∠B的度数为 _____．
12．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形 _____个．
14．如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 _____．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
三、解答题(共8小题，共75分)
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠ABC=100°，求∠ADE的度数．
17．（8分）【问题背景】
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC=2∠C，BD=CD．
【问题探究】
（1）若∠A=∠DEC，试说明AB=EC；
（2）若AB=BD，求∠A的度数．
18．（8分）（1）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m-2，n+1．求m,n的值；
（2）已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长．
19．（8分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
解：如图②，只有点A关于直线l的对称点A′与点C，B在同一条直线上时，才能使AC+BC的值最小，作点A关于直线l的对称点A′，然后连接A′B，交直线l于点C，则C就是所求的点．
应用：如图③，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成△ABC，使它的周长最小．
（1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点B和点C，并画出△ABC；
（2）若∠MON=30°，OA=10，求△ABC周长的最小值．
20．（8分） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
21．（10分）阅读下列材料：“已知线段AB（图①），以AB为一边，作一个角等于30°的直角三角形”．下面图②是小明同学的尺规作图过程．小聪参考小明解决问题的方式，又设计了一种“作一个角等于30°的直角三角形”的尺规作图的方法（图③）
（1）小明所作的图②中，△ABD的形状是 ，CD与BD的数量关系是 ，∠2= ；
（2）为了说明小聪作图方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“作法”，请补充完整，并写出“证明”过程．
作法：如图③，
①延长BA至B′，使得AB′= ▲ ；
②分别以点B、B′为圆心， ▲ 的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC．△ABC就是所求的直角三角形．
22．（12分）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
23．（13分）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）如图（2），若，，求的大小．
（3）若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
第13章单元检测卷
考试时间：120分钟 满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．随着生活水平的不断提高，汽车越来越普及，在下面的汽车标志图中，不属于轴对称的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．
解：A、由轴对称图形的概念可知，是轴对称图形，有3条对称轴；
B、由轴对称图形的概念可知，是轴对称图形，有1条对称轴；
C、由轴对称图形的概念可知，是轴对称图形，有1条对称轴；
D、由轴对称图形的概念可知，不是轴对称图形．
故选：D．
2．如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD=46°，∠C=20°，则∠ADC等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 52° D. 72°
【答案】D
【解析】根据∠ADC=∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A=∠C=20°，∠ABO=∠CBO，
∵∠BOD=∠A+∠ABO，
∴∠ABO=∠BOD-∠ABO=46°-20°=26°，
∴∠ABD=2∠ABO=52°，
∴∠ADC=∠A+∠ABD=20°+52°=72°，
故选：D．
3．小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（ ）
A. 21：05 B. 20：15 C. 20：12 D. 21：50
【答案】B
【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15．
故选：B．
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：C．
5．在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A. （作一个角的平分线）
B. （作线段的垂直平分线）
C. （作高）
D. （作等腰三角形）
【答案】C
【解析】当BD是AC的垂线时，根据相似三角形的判定定理，即可得出△ABD∽△BCD，据此对选项进行分析，即可得出答案．
解：当BD是AC的垂线时，△ABD∽△BCD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
根据作图痕迹可知：
A、BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，故不符合题意；
B、BD是AC的中线，不与AC垂直，故不符合题意；
C、BD是AC的垂线，故符合题意；
D、AB=AD，BD不与AC垂直，故不符合题意．
故选：C．
6．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB=90°，∠D=15°，点A在CD上，AD=AB，BC=2dm,则AD的长为（ ）
A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm
【答案】B
【解析】先求出∠ABD=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度是4cm,即可得到结论．
解：∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD．
∵∠D=15°，
∴∠ABD=∠D=15°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°．
∵∠ACB=90°，BC=2dm,
∴AB=4dm,
∴AD=4dm.
故选：B．
7．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可．
解：如图所示：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面积=△DPC的面积，
∵△BPC的面积=10（cm2），
∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2），
∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2），
∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2），
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得①∠DCB=∠B正确；
由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；
易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；
由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD，
∵AD=CD，
∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故选：B．
9．点（-7，9）关于直线m（直线m上各点横坐标都为2）对称点的坐标是（ ）
A. （7，9） B. （-7，-9）
C. （11，9） D. （-11，-9）
【答案】C
【解析】先根据题意得出直线m的解析式为x=2，再由对称的性质得出对称点的横坐标，从而得出答案．
解：根据题意，直线m的解析式为x=2，
则点（-7，9）到直线x=2的距离为7+2=9，
根据轴对称的性质得，对称点到直线x=2的距离也为9，
所以对称点的横坐标为2+9=11，纵坐标为9，
即对称点的坐标为（11，9）．
故选：C．
10．如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CG≥CH，进一步得出结果．
解：作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，
∴CE+CF=CG，
∵BD平分∠ABC，
∴点G在AB上，
∴CG≥CH，
∴CE+EF的最小值为CH的长，
∵，
∴，
∴CH=6，
∴CE+EF的最小值为：6，
故选B．
分卷II
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．若∠A=45°，∠C′=30°，则∠B的度数为 _____．
【答案】105°
【解析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C=∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A=45°，∠C′=30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=30°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-45°-30°=105°．
故答案为：105°．
12．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ ．
【分析】延长AE交BC于点F，证明△ABE≌△FBE（ASA），得出AE＝EF，AB＝BF＝4，∠BAF＝∠BFA＝58°，根据∠C＝29°，得出∠CAF＝∠C，则AF＝CF，进而即可求解．
【解析】解：如图，延长AE交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE．
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝4，
∴．
∵∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠C，
∴AF＝CF．
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝6，
∴AF＝6，
∴AE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形 _____个．
【答案】3
【解析】根据在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=75°，然后可得等腰三角形．
解：（1）∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-60°-90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF，
即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故答案为：3．
14．如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 _____．
【答案】16
【解析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD=AB=4，
∴S△A1BA=×8×4=16，
又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC，且S△A1BC1=S△ABC，
∴S阴影=S△A1BA=16，
故答案为：16．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
【答案】
【解析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题(共8小题，共75分)
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠ABC=100°，求∠ADE的度数．
【解析】（1）根据三角形中位线定理可求出DE=BC=AB，即可证得结论．
（2）根据平行线及三角形内角和定理可求出∠ADE的度数．
解：（1）∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∵DE∥BC，
∴E为AB的中点，
∴BE=AB，DE=BC，
∴BE=DE．
（2）∵∠ABC=100°，
∴∠C=（180°-∠ABC）=40°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=40°．
17．（8分）【问题背景】
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC=2∠C，BD=CD．
【问题探究】
（1）若∠A=∠DEC，试说明AB=EC；
（2）若AB=BD，求∠A的度数．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠ABD=∠C，利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
解：（1）∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=EC；
（2）∵AB=BD，
∴∠A=∠BDA，
由（1）知，∠ABD=∠DBC=∠C，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠A=∠ADB=2∠ABD，
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠A+∠A+∠A=180°，
∴∠A=72°．
18．（8分）（1）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m-2，n+1．求m,n的值；
（2）已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长．
【解析】（1）根据全等三角形的对应边相等可得，或，解方程组即可；
（2）已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
解：（1）由题意可得，或，
解得，或，
故m=5，n=9或m=6，n=7；
（2）当5是腰长时，底边为16-5×2=6，能组成三角形，
所以腰长为5，底边为6；
当5是底边时，腰长为×（16-5）=5.5，能够组成三角形，
所以腰长为5.5，底边为5，
综上，等腰三角形的腰和底边的长为5，6或5.5，5．
19．（8分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
解：如图②，只有点A关于直线l的对称点A′与点C，B在同一条直线上时，才能使AC+BC的值最小，作点A关于直线l的对称点A′，然后连接A′B，交直线l于点C，则C就是所求的点．
应用：如图③，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成△ABC，使它的周长最小．
（1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点B和点C，并画出△ABC；
（2）若∠MON=30°，OA=10，求△ABC周长的最小值．
【解析】（1）根据轴对称的性质，分别作出点A关于OM和ON的对称点即可解决问题．
（2）根据所作图形，由∠MON的度数为30°可得出∠A1OA2的度数，再由OA=10便可解决问题．
解：（1）分别作出点A关于OM和ON的对称点A1和A2，
连接A1A2与OM和ON的交点即为点B和点C，
△ABC如图所示．
（2）连接OA1、OA2和OA，
∵点A和点A1关于OM对称，
∴∠A1OM=∠AOM，A1O=AO．
同理∠A2ON=∠AON，A2O=AO．
∴∠A1OA+∠A2OA=2∠AOM+2∠AON=2∠MON，
又∠MON=30°，
∴∠A1OA2=60°．
又A1O=AO=A2O=10，
∴△A1OA2是边长为10的等边三角形．
则A1A2=10．
即△ABC周长的最小值为10．
20．（8分） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
21．（10分）阅读下列材料：“已知线段AB（图①），以AB为一边，作一个角等于30°的直角三角形”．下面图②是小明同学的尺规作图过程．小聪参考小明解决问题的方式，又设计了一种“作一个角等于30°的直角三角形”的尺规作图的方法（图③）
（1）小明所作的图②中，△ABD的形状是 ，CD与BD的数量关系是 ，∠2= ；
（2）为了说明小聪作图方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“作法”，请补充完整，并写出“证明”过程．
作法：如图③，
①延长BA至B′，使得AB′= ▲ ；
②分别以点B、B′为圆心， ▲ 的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC．△ABC就是所求的直角三角形．
【答案】（1）等边三角形；；
（2）解：根据画图轨迹可以写出作法如下：
①延长BA至B′，使得；
②分别以点B、B′为圆心，BB′的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC，△ABC就是所求的直角三角形．
故答案为，；
证明如下：
如图，连接，
由作图可知，
∴是等边三角形.
∴，
又，
∴．
∴，
∴，
∴△ABC就是所求作的直角三角形．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由小明同学的尺规作图过程可知，，
∴△ABD的形状是等边三角形，CD与BD的数量关系是，
∴，，
故答案为：等边三角形，，；
【分析】（1）由小明同学的尺规作图过程可知AB=BD=AD=CD，则△ABD为等边三角形，CD=BD，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行计算；
（2）①延长BA至B′，使得AB′=AB；
②分别以点B、B′为圆心，BB′的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC，△ABC就是所求的直角三角形.
22．（12分）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴（答案不唯一）；
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（2）得：，
∴，
∴点的运动路径是一条线段，当时，有最小值，此时，
∵，
∴
∴点的运动路径长度是3
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一性质”即可求解；
（2）利用等边三角形的性质得到 ， 根据SAS证明 ，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）连接，由（2）得：， 从而得到 ， 进而得到 当时，有最小值，此时， 根据含30°直角三角形的性质，从而求解.
23．（13分）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）如图（2），若，，求的大小．
（3）若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
【答案】（1）证明：由对称得．
．
是边上的中线，
．
．
，
∴△BEC是直角三角形；
（2）解：，
．
．
是等边三角形．
．
．
由对称得，．
．
；
（3）解：①当∠BAC=90°时，
∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD=BC；
②如图1，当∠ABC=90°时，
（图1）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
．
．
；
③如图2，当∠ACB=90°时，
（图2）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
，
综上AD=CD或AD=2CD.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；数学思想
【解析】【分析】（1）根据翻折得到CD=ED，结合中线AD得到BD=ED=DC，利用等边对等角得∠DCE=∠DEC，∠DBE=∠DEB，结合三角形内角和180°即可求解；
（2）根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到AB=BD=CD=BC，进而根据三边相等的三角形是直角三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°、邻补角、翻折性质及周角定义可得∠EDC=120°，最后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠BCE的度数；
（3）分别讨论：①当∠BAC=90°时，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD=CD；②如图1，当∠ABC=90°时，由等边三角形性质、邻补角可求出∠EDC=120°，由翻折性质及周角定理得∠ADC=∠ADE=120°，进而可得∠ADB=60°，由三角形内角和定理得∠BAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD；③如图2，当∠ACB=90°时，由等边三角形性质及翻折性质可推出∠ADC=∠ADE=60°，由三角形内角和定理得∠CAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD，综上即可得出结论.
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人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
第13章单元检测卷
考试时间：120分钟 满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．随着生活水平的不断提高，汽车越来越普及，在下面的汽车标志图中，不属于轴对称的图形是（ ）
A. B.
C. D.
2．如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD=46°，∠C=20°，则∠ADC等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 52° D. 72°
3．小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（ ）
A. 21：05 B. 20：15 C. 20：12 D. 21：50
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
5．在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A. （作一个角的平分线）
B. （作线段的垂直平分线）
C. （作高）
D. （作等腰三角形）
6．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB=90°，∠D=15°，点A在CD上，AD=AB，BC=2dm,则AD的长为（ ）
A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm
7．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
9．点（-7，9）关于直线m（直线m上各点横坐标都为2）对称点的坐标是（ ）
A. （7，9） B. （-7，-9）
C. （11，9） D. （-11，-9）
10．如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
分卷II
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．若∠A=45°，∠C′=30°，则∠B的度数为 _____．
12．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形 _____个．
14．如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 _____．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
三、解答题(共8小题，共75分)
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠ABC=100°，求∠ADE的度数．
17．（8分）【问题背景】
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC=2∠C，BD=CD．
【问题探究】
（1）若∠A=∠DEC，试说明AB=EC；
（2）若AB=BD，求∠A的度数．
18．（8分）（1）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m-2，n+1．求m,n的值；
（2）已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长．
19．（8分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
解：如图②，只有点A关于直线l的对称点A′与点C，B在同一条直线上时，才能使AC+BC的值最小，作点A关于直线l的对称点A′，然后连接A′B，交直线l于点C，则C就是所求的点．
应用：如图③，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成△ABC，使它的周长最小．
（1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点B和点C，并画出△ABC；
（2）若∠MON=30°，OA=10，求△ABC周长的最小值．
20．（8分） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
21．（10分）阅读下列材料：“已知线段AB（图①），以AB为一边，作一个角等于30°的直角三角形”．下面图②是小明同学的尺规作图过程．小聪参考小明解决问题的方式，又设计了一种“作一个角等于30°的直角三角形”的尺规作图的方法（图③）
（1）小明所作的图②中，△ABD的形状是 ，CD与BD的数量关系是 ，∠2= ；
（2）为了说明小聪作图方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“作法”，请补充完整，并写出“证明”过程．
作法：如图③，
①延长BA至B′，使得AB′= ▲ ；
②分别以点B、B′为圆心， ▲ 的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC．△ABC就是所求的直角三角形．
22．（12分）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
23．（13分）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）如图（2），若，，求的大小．
（3）若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
第13章单元检测卷
考试时间：120分钟 满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．随着生活水平的不断提高，汽车越来越普及，在下面的汽车标志图中，不属于轴对称的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．
解：A、由轴对称图形的概念可知，是轴对称图形，有3条对称轴；
B、由轴对称图形的概念可知，是轴对称图形，有1条对称轴；
C、由轴对称图形的概念可知，是轴对称图形，有1条对称轴；
D、由轴对称图形的概念可知，不是轴对称图形．
故选：D．
2．如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D，若∠BOD=46°，∠C=20°，则∠ADC等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 52° D. 72°
【答案】D
【解析】根据∠ADC=∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A=∠C=20°，∠ABO=∠CBO，
∵∠BOD=∠A+∠ABO，
∴∠ABO=∠BOD-∠ABO=46°-20°=26°，
∴∠ABD=2∠ABO=52°，
∴∠ADC=∠A+∠ABD=20°+52°=72°，
故选：D．
3．小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（ ）
A. 21：05 B. 20：15 C. 20：12 D. 21：50
【答案】B
【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15．
故选：B．
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：C．
5．在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A. （作一个角的平分线）
B. （作线段的垂直平分线）
C. （作高）
D. （作等腰三角形）
【答案】C
【解析】当BD是AC的垂线时，根据相似三角形的判定定理，即可得出△ABD∽△BCD，据此对选项进行分析，即可得出答案．
解：当BD是AC的垂线时，△ABD∽△BCD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
根据作图痕迹可知：
A、BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，故不符合题意；
B、BD是AC的中线，不与AC垂直，故不符合题意；
C、BD是AC的垂线，故符合题意；
D、AB=AD，BD不与AC垂直，故不符合题意．
故选：C．
6．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB=90°，∠D=15°，点A在CD上，AD=AB，BC=2dm,则AD的长为（ ）
A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm
【答案】B
【解析】先求出∠ABD=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度是4cm,即可得到结论．
解：∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD．
∵∠D=15°，
∴∠ABD=∠D=15°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°．
∵∠ACB=90°，BC=2dm,
∴AB=4dm,
∴AD=4dm.
故选：B．
7．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可．
解：如图所示：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面积=△DPC的面积，
∵△BPC的面积=10（cm2），
∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2），
∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2），
∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2），
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得①∠DCB=∠B正确；
由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；
易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；
由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD，
∵AD=CD，
∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故选：B．
9．点（-7，9）关于直线m（直线m上各点横坐标都为2）对称点的坐标是（ ）
A. （7，9） B. （-7，-9）
C. （11，9） D. （-11，-9）
【答案】C
【解析】先根据题意得出直线m的解析式为x=2，再由对称的性质得出对称点的横坐标，从而得出答案．
解：根据题意，直线m的解析式为x=2，
则点（-7，9）到直线x=2的距离为7+2=9，
根据轴对称的性质得，对称点到直线x=2的距离也为9，
所以对称点的横坐标为2+9=11，纵坐标为9，
即对称点的坐标为（11，9）．
故选：C．
10．如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CG≥CH，进一步得出结果．
解：作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，
∴CE+CF=CG，
∵BD平分∠ABC，
∴点G在AB上，
∴CG≥CH，
∴CE+EF的最小值为CH的长，
∵，
∴，
∴CH=6，
∴CE+EF的最小值为：6，
故选B．
分卷II
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．若∠A=45°，∠C′=30°，则∠B的度数为 _____．
【答案】105°
【解析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C=∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A=45°，∠C′=30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=30°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-45°-30°=105°．
故答案为：105°．
12．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝ ．
【分析】延长AE交BC于点F，证明△ABE≌△FBE（ASA），得出AE＝EF，AB＝BF＝4，∠BAF＝∠BFA＝58°，根据∠C＝29°，得出∠CAF＝∠C，则AF＝CF，进而即可求解．
【解析】解：如图，延长AE交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE．
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝4，
∴．
∵∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠C，
∴AF＝CF．
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝6，
∴AF＝6，
∴AE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形 _____个．
【答案】3
【解析】根据在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=75°，然后可得等腰三角形．
解：（1）∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-60°-90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF，
即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故答案为：3．
14．如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 _____．
【答案】16
【解析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD=AB=4，
∴S△A1BA=×8×4=16，
又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC，且S△A1BC1=S△ABC，
∴S阴影=S△A1BA=16，
故答案为：16．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
【答案】
【解析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题(共8小题，共75分)
16．（8分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠ABC=100°，求∠ADE的度数．
【解析】（1）根据三角形中位线定理可求出DE=BC=AB，即可证得结论．
（2）根据平行线及三角形内角和定理可求出∠ADE的度数．
解：（1）∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∵DE∥BC，
∴E为AB的中点，
∴BE=AB，DE=BC，
∴BE=DE．
（2）∵∠ABC=100°，
∴∠C=（180°-∠ABC）=40°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=40°．
17．（8分）【问题背景】
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC=2∠C，BD=CD．
【问题探究】
（1）若∠A=∠DEC，试说明AB=EC；
（2）若AB=BD，求∠A的度数．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠ABD=∠C，利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
解：（1）∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=EC；
（2）∵AB=BD，
∴∠A=∠BDA，
由（1）知，∠ABD=∠DBC=∠C，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠A=∠ADB=2∠ABD，
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠A+∠A+∠A=180°，
∴∠A=72°．
18．（8分）（1）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m-2，n+1．求m,n的值；
（2）已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长．
【解析】（1）根据全等三角形的对应边相等可得，或，解方程组即可；
（2）已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
解：（1）由题意可得，或，
解得，或，
故m=5，n=9或m=6，n=7；
（2）当5是腰长时，底边为16-5×2=6，能组成三角形，
所以腰长为5，底边为6；
当5是底边时，腰长为×（16-5）=5.5，能够组成三角形，
所以腰长为5.5，底边为5，
综上，等腰三角形的腰和底边的长为5，6或5.5，5．
19．（8分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
解：如图②，只有点A关于直线l的对称点A′与点C，B在同一条直线上时，才能使AC+BC的值最小，作点A关于直线l的对称点A′，然后连接A′B，交直线l于点C，则C就是所求的点．
应用：如图③，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成△ABC，使它的周长最小．
（1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点B和点C，并画出△ABC；
（2）若∠MON=30°，OA=10，求△ABC周长的最小值．
【解析】（1）根据轴对称的性质，分别作出点A关于OM和ON的对称点即可解决问题．
（2）根据所作图形，由∠MON的度数为30°可得出∠A1OA2的度数，再由OA=10便可解决问题．
解：（1）分别作出点A关于OM和ON的对称点A1和A2，
连接A1A2与OM和ON的交点即为点B和点C，
△ABC如图所示．
（2）连接OA1、OA2和OA，
∵点A和点A1关于OM对称，
∴∠A1OM=∠AOM，A1O=AO．
同理∠A2ON=∠AON，A2O=AO．
∴∠A1OA+∠A2OA=2∠AOM+2∠AON=2∠MON，
又∠MON=30°，
∴∠A1OA2=60°．
又A1O=AO=A2O=10，
∴△A1OA2是边长为10的等边三角形．
则A1A2=10．
即△ABC周长的最小值为10．
20．（8分） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
21．（10分）阅读下列材料：“已知线段AB（图①），以AB为一边，作一个角等于30°的直角三角形”．下面图②是小明同学的尺规作图过程．小聪参考小明解决问题的方式，又设计了一种“作一个角等于30°的直角三角形”的尺规作图的方法（图③）
（1）小明所作的图②中，△ABD的形状是 ，CD与BD的数量关系是 ，∠2= ；
（2）为了说明小聪作图方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“作法”，请补充完整，并写出“证明”过程．
作法：如图③，
①延长BA至B′，使得AB′= ▲ ；
②分别以点B、B′为圆心， ▲ 的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC．△ABC就是所求的直角三角形．
【答案】（1）等边三角形；；
（2）解：根据画图轨迹可以写出作法如下：
①延长BA至B′，使得；
②分别以点B、B′为圆心，BB′的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC，△ABC就是所求的直角三角形．
故答案为，；
证明如下：
如图，连接，
由作图可知，
∴是等边三角形.
∴，
又，
∴．
∴，
∴，
∴△ABC就是所求作的直角三角形．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由小明同学的尺规作图过程可知，，
∴△ABD的形状是等边三角形，CD与BD的数量关系是，
∴，，
故答案为：等边三角形，，；
【分析】（1）由小明同学的尺规作图过程可知AB=BD=AD=CD，则△ABD为等边三角形，CD=BD，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行计算；
（2）①延长BA至B′，使得AB′=AB；
②分别以点B、B′为圆心，BB′的长为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC，△ABC就是所求的直角三角形.
22．（12分）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴（答案不唯一）；
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（2）得：，
∴，
∴点的运动路径是一条线段，当时，有最小值，此时，
∵，
∴
∴点的运动路径长度是3
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一性质”即可求解；
（2）利用等边三角形的性质得到 ， 根据SAS证明 ，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）连接，由（2）得：， 从而得到 ， 进而得到 当时，有最小值，此时， 根据含30°直角三角形的性质，从而求解.
23．（13分）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）如图（2），若，，求的大小．
（3）若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
【答案】（1）证明：由对称得．
．
是边上的中线，
．
．
，
∴△BEC是直角三角形；
（2）解：，
．
．
是等边三角形．
．
．
由对称得，．
．
；
（3）解：①当∠BAC=90°时，
∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD=BC；
②如图1，当∠ABC=90°时，
（图1）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
．
．
；
③如图2，当∠ACB=90°时，
（图2）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
，
综上AD=CD或AD=2CD.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；数学思想
【解析】【分析】（1）根据翻折得到CD=ED，结合中线AD得到BD=ED=DC，利用等边对等角得∠DCE=∠DEC，∠DBE=∠DEB，结合三角形内角和180°即可求解；
（2）根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到AB=BD=CD=BC，进而根据三边相等的三角形是直角三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°、邻补角、翻折性质及周角定义可得∠EDC=120°，最后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠BCE的度数；
（3）分别讨论：①当∠BAC=90°时，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD=CD；②如图1，当∠ABC=90°时，由等边三角形性质、邻补角可求出∠EDC=120°，由翻折性质及周角定理得∠ADC=∠ADE=120°，进而可得∠ADB=60°，由三角形内角和定理得∠BAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD；③如图2，当∠ACB=90°时，由等边三角形性质及翻折性质可推出∠ADC=∠ADE=60°，由三角形内角和定理得∠CAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD，综上即可得出结论.
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