2024-2025学年天津一百中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一百中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记的内角的对边分别为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，且，则 ．
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，，其中，若，，且的最小正周期大于，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.设函数，若，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知，则 ______．
11.函数在上的最大值是 ．
12.已知，则 ______．
13.已知，则的最小值为 ．
14.函数的部分图象如图所示，关于函数有如下结论：
函数的图象关于点对称
函数的图象关于直线对称
函数在上单调递减
该图象向右平移个单位可得的图象
以上结论正确的是______．
15.在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知，
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数的最大值为，
若的定义域为，求的单调递增区间；
若，，求的值．
18.本小题分
已知四棱锥中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列的前项和，，．
求数列和的通项公式；
设的前项和，求证：；
设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若对任意的，都有成立，求整数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ在三角形中，由正弦定理得，所以，
又由，
得，即，
又因为，得，，
由余弦定理可得
；
Ⅱ由Ⅰ得，
从而，
，
故
．
17.解：将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令得 ，
令，得，
所以的单调递增区间为和
由知 ，
由，得，
所以 ，
又因为 ，所以，
所以 ，
所以，
所以．

18.证明：取中点，连接，，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
故D平面
解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
，则，
设平面的法向量为，
，则，
所以，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
解：因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
19.解：由等比数列的各项均为正数，设公比为，
，，成等差数列，且满足，
，即，解得，
，
设等差数列的公差为，
，，，解得，
则，即数列的通项公式为；
证明：由知，，
得，
则
，
，，故；
解：由，
则数列的前项和，
由等差数列的前项和可得：，
令，
得，
得：，
，
故数列的前项和．
20.解：函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ．
函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
， ，
令 ，求导得 ，
由知， 在 上单调递增， ， ，
因此，当时，存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，则 ，
所以整数 的最大值是．

第1页，共1页