2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为，，，，，，，，，，这些成绩可用下图中的所示，乙校运动员的得分可用下图中的所示．
则以下结论中，正确的是( )
A. 甲校运动员得分的中位数为
B. 乙校运动员得分的分位数为
C. 甲校运动员得分的平均数大于
D. 甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差
4.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.方程所表示的图形是( )
A. 一个半圆 B. 一个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆
8.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线在轴上的截距是
B. 当变化时，圆恒过定点有且只有一个
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 直线关于点对称的直线方程是
10.如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则( )
A. B.
C. D.
11.已知圆：，为直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法中正确的是( )
A. 的最小值为 B. 直线恒过定点
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点且与直线垂直的直线方程为______．
13.已知点在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为 ．
14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：
如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为 ；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
求的单调递减区间；
在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积．
16.本小题分
已知圆，两点、．
若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的方程
若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围．
17.本小题分
甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．
分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；
求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；
若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？参考数据：，
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，请用空间向量的知识解答下列问题：
求与平面所成角的大小
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求的值若不存在，说明理由．
19.本小题分
蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，原点在圆内设交轴于点，交轴于点．
当，，，时，分别求线段和的长度；
求证：．
猜想和的大小关系，并证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：根据题意得
，
令，解得．
所以的单调递减区间为；
若，则，即，
结合，可得，所以．
根据余弦定理，可得，
而，所以，解得．
所以的面积．
16.解：根据勾股定理可得圆心到直线的距离为，
设直线 的方程为：，则有
解得，则直线 的方程为：．
设，由，代入坐标得
化简得：，
即点的轨迹是圆，要使点也在圆上，则要两圆有公共点，
故只要满足，
解得：．
17.解：甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，
记乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，甲射击一次击中目标为事件，
依题意，，
所以，
，所以，
所以丙射击一次击中目标的概率为，乙射击一次击中目标的概率为；
记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，
则
，
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；
设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为，
令，所以，
所以，
又为正整数，所以，即甲至少要射击次．
18.解：因为，，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
如图，
以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设与平面所成角为，
则是平面的一个法向量，
所以，，
所以，
即与平面所成角的大小为；
假设存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
由知，，，，
设是平面的法向量，
则，取，
设，其中，
则，
连接，因为平面，平面，平面平面，
故AC，则取与同向的单位向量，
设是平面的法向量，
则
取，
则，，
解得或，即或，
故在侧棱上存在点且当或时，使得平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：当，，，时，
圆：，
直线：，由或，故C，；
直线：，由或，故E，．
所以直线：，令，得，即；
直线：，令，得，即．
所以．
证明：由题意：．
由，
则，是该方程的两个解，
由韦达定理得：，，
所以．
同理可得：，所以．
猜测，证明如下：
设点，．
因为，，三点共线，所以：，
又因为点在直线上，所以；点在直线上，所以．
所以；
同理因为，，三点共线，可得：．
由可知：，
所以．
即，所以成立．
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