2024-2025学年重庆外国语学校高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆外国语学校高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.关于百分位数，下列选项错误的是( )
A. 一组数按照从小到大排列后为：，，，，计算得：，则这组数的分位数是
B. 一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数
C. 一组数据的某些百分位数可能是同一个数
D. 第百分位数就是中位数
3.已知正方体中，点为上底面的中心，若，则、的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是( )
A. B. C. 或 D. 与相交但不垂直
5.某学校举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. B. C. D.
6.将边长为的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
7.正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为( )
A. B. C. D.
8.在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面已知，，为线段上一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若，则，是钝角
10.对于概率的基本性质，下列选项正确的是( )
A. 如果事件与事件互斥，那么
B. 如果事件与事件互为对立事件，那么
C. 如果，则
D.
11.在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是
C. 的最小值为
D. 存在唯一的实数对，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，中任意取出两个不同的数，其和为的概率是______．
13.已知空间向量，，，则向量与的夹角为 ．
14.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在空间直角坐标系中，，，，，点满足．
求点的坐标用表示；
若，求的值．
16.本小题分
一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为、、，且每题答对与否相互独立．
当时，求考生填空题得满分的概率；
若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值．
17.本小题分
某电视台为宣传安徽，随机对安徽岁的人群抽取了人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第组
第组
第组
第组
第组
分别求出，，，的值；
从第，，组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，求第，，组每组各抽取多少人？
18.本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
求异面直线与的夹角；
若，求平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值．
19.本小题分
如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，点在线段上

若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线平面；
是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：因为，，
所以，
因为，
所以，
所以点的坐标为．
因为，，
所以，即，
解得．
16.解：设考生填空题得满分、分、分为事件、、，
则考生填空题得满分的概率分
分
分
由得分
17.解：由频率表中第组数据知，
第组总人数为，
由频率分布直方图知，
，
，
，
．
第，，组回答正确的共有人．
利用分层抽样在人中抽取人，每组分别抽取的人数为：
第组：人，
第组：人，
第组：人．
18.解：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，，
因为，
所以，
又，，平面，
故AB平面，
又平面，
则，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，
则，，，，
所以，
故，
所以，
故异面直线与的夹角为；
由可知，平面，
故平面的一个法向量为，
因为，
则，
所以，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
所以，
故平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值为．
19.解：因为直线平面，
故点在平面内也在平面内，
所以点在平面与平面的交线上，
延长交的延长线于，
因为 ，为的中点，所以≌，
所以，，所以点在的延长线上，且，
连接交于，因为四边形为矩形，所以是的中点，
连接，因为为的中位线，所以 ，
又因为平面，平面，
所以直线 平面
由已知可得，，，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
取的中点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设，则，
设平面的法向量，
则
取，则，，所以．
因为与平面所成的角为，
所以，
所以，所以，
解得或，
所以存在点，使得直线与平面所成的角为．
取的中点，因为平面，平面，
所以．
又因为，，，平面，
所以平面，则为平面的法向量，
因为，，
所以，，
设二面角的大小为，
所以
．
因为当时， ，平面平面，
所以当时，为钝角，所以 ．
当时，为锐角，所以

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