2024-2025学年浙江省杭州市周边重点中学四校高二（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市周边重点中学四校高二（上）联考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若圆锥的表面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在四面体中，记，，，若点、分别为棱、的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别、，当最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
10.定义在上的偶函数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面阴影部分叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面设，则下列结论正确的是( )
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面为直角三角形，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆与圆相内切，则 ______．
13.已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个
14.如图，在长方形中，，，为的中点，为线段端点除外上一动点现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图．
请估计样本数据的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和中位数精确到；
学校决定表彰成绩排名前的学生，学生甲的成绩是，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足．
求动点的轨迹的方程．
若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程．
17.本小题分
已知函数且是定义在上的奇函数，且．
求，的值；
解不等式．
18.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
证明：平面；
当时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
在中，内角，，的对边分别为，，．
若．
求；
若的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：样本数据的平均值为：
分，
因为从左至右的前组数据的频率为，
从左至右的前组数据的频率为，
所以样本数据的中位数位于区间内，设中位数为，
则，
所以分；
成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，
则被表彰的最低成绩为，
所以估计学生甲不能得到表彰．
16.解：设，由，得，
化简得，
所以点的轨迹的方程为．
由知，轨迹：表示圆心为，半径为的圆，
当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，与相切；
当直线的斜率存在时，设：，即，
于是，解得，因此直线的方程为，即，
所以直线的方程为或．

17.解：由函数且是定义在上的奇函数，且．
可知，
故且，
故，，舍去；
，
由于函数均为单调递减函数，故为减函数，
故，
即，解得，
故不等式的解为．
18.证明：连接，，由，都是正方形，
则有，又，
则在中，，所以，
由，，
可得四边形为平行四边形，
则，所以，
又平面，平面，
所以平面；
解：当时，，分别和的中点，
连接，，则，
设为中点，连接，，
则，，，
因为平面平面，平面平面，
平面，，则平面，
又平面，则，
由，得，，
在中，由余弦定理，可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为，且，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，，
所以，
因为，所以；
因为，所以的内角均小于，
所以点在的内部，且，
由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，
所以
所以的取值范围为；
因为，
即，
所以，
在，，中，分别由余弦定理得：
，，，
三式相加整理得，
将代入得：，
因为平分，所以，，
所以，
又由余弦定理可得：，
由得：，
所以，即，
所以常数，使得．
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